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ANSWER - Modélisation numérique - propagation des ondes longues - canal gabarit uniforme - pente nulle

De Wikibardig

Sommaire

Résumé

Cette étude concerne la modélisation à l'aide du code TELEMAC 2D de la propagation d'une onde de marée dans un canal à gabarit constant et de grande profondeur.
Une comparaison est réalisée entre 2 configurations : le modèle complet et un modèle linéarisé, dont ont été débranchés les termes convectifs et le frottement. Il est montré que dans les configurations choisies, ces deux termes ont très peu d'influence sur la ligne d'eau.

Eléments de contexte

Cette page est partie intégrante de l'opération ANSWER. Elle est dédiée à l'étude numérique du comportement de codes de calculs d'hydraulique à surface libre avec des solutions analytiques.
Il s'agit de pages d'études soumises à la communauté de modélisateurs hydrauliciens, afin de définir et de passer des cas tests, de réfléchir en commun aux résultats obtenus de manière à mieux comprendre les fonctionnalités et les limitations de certains codes.
Cette démarche est par essence interactive et la présente page est donc ne constitue donc qu'un bac à sable.
Le présent cas traité est la propagation d’une onde de marée (onde longue) dans un canal à fond plat. Il s’agit du premier cas modélisé dans une série de cas de difficultés progressives. La principale difficulté à lever ici est celle de l’imposition de conditions à la limite aux frontières liquides. La modélisation permettra de comparer différents modèles à la solution analytique des équations linéarisées décrites dans la page modèle de propagation des ondes longues.

Étude de la propagation d'ondes longues dans un canal à gabarit constant et à fond plat

Caractéristique du domaine :

  • longueur : 10 000 km
  • largeur constante : 10 km
  • profondeur : 500 m
  • discrétisation spatiale : 5 nœuds et 8 éléments en largeur (côté de 2500 m) / 2001 nœuds et 2000 éléments en longueur (côté de 5000 m).

Au total 16 000 éléments et 10 005 nœuds.

Caractéristique de l’onde à propager :

  • période de la marée : 12 heures = 43200 s
  • amplitude : 5 m

On se trouve dans le domaine des ondes longues se propageant en eaux peu profondes (la profondeur relative à la longueur d’onde est faible)
On en déduit les caractéristiques suivantes :

  • c = célérité de l’onde ~ 70 m.s-1
  • L = longueur d’onde ~ 3 025 542 m (Par conséquent, le canal virtuel modélisé mesure 1.107/3025542 = 3,305 longueurs d’ondes. Il devrait y avoir un peu plus de 3,3 ondes dans le canal.)
  • k = nombre d’onde ~ 2,07.10-6 m-1


Imposition sous Telemac2d :

L’implémentation d’une condition à la limite avec des valeurs (hauteur, débit ou vitesses) variables dans le temps peut se faire de deux façons sur Telemac.

  • Création d’un fichier texte avec les variations temporelles de la variable imposée (ici la hauteur). Ainsi à chaque pas de temps du calcul, Telemac va lire le fichier liquide et interpoler la valeur à partir des valeurs encadrantes.
  • Implémentation directe dans une fonction FORTRAN modifiée par l’utilisateur et appelée par Telemac.

Dans notre cas, nous implémentons l’imposition d’une surface libre variant sinusoïdalement avec le temps pour toutes les frontières liquides avec surface libre imposée. C’est un cas simple de modification d’une routine FORTRAN de Telemac. L’onde est « générée » à l’entrée du canal (domaine de calcul) à la frontière liquide gauche X=0 m.

Options : Citer tous les choix réalisés pour cette modélisation serait très long. En voici néanmoins quelques-uns :

  • Pas de temps : 40 s (pas de temps suffisamment fin pour avoir une convergence rapide (peu d’itérations))
  • Pas de sous-pas de temps pour la prise en compte des non-linéarités
  • Nombre de pas de temps : 12 000 soit une durée totale simulée de 480 000 s (soit un peu plus de 11 périodes)
  • Choix des équations à résoudre : Saint-Venant avec éléments finis
  • Résolution simultanée des équations de St Venant
  • Solveur : GMRES (adapté à la résolution du système d’équations primitives)
  • Conditions initiales : plan d’eau au repos

Des conditions limites aux frontières liquides complexes 

Le défi se posant à toutes les modélisations de propagation d’ondes est l’imposition de la condition limite aux frontières liquides. L’imposition de la seule variation de la surface libre à la frontière dite entrante (celle par laquelle on fait entrer l’onde) est en théorie insuffisante (problème sous-contraint). La difficulté est encore plus grande au niveau de la sortie de l’onde où la difficulté réside dans le fait de laisser sortir l’onde sans induire de réflexion parasite. Telemac offre la possibilité d’utiliser la condition de Thompson basée sur la théorie des caractéristiques appliquées aux frontières liquides.

Effets non linéaires vs linéarisation 

Le but de la construction de notre modèle numérique est d’observer son comportement en s’approchant au maximum des hypothèses retenues dans la solution analytique linéarisée.

- pas de frottement.

La solution analytique néglige les frottements sur le fond et sur les parois. Telemac2d offre la possibilité d’annuler la prise en compte du frottement sur le fond par l’utilisation du mot clé LOI DE FROTTEMENT SUR LE FOND = 0 (= pas de frottement sur le fond). Une condition d’imperméabilité faible avec glissement libre sur les parois latérales solides est imposée. Pour se faire, la frontière est de type 2 2 2 pour (LIHBOR LIUBOR LIVBORD).

- pas de diffusion des vitesses.

Le terme de diffusion des vitesses peut-être désactivé sous Telemac2d.


L’activation et désactivation de la convection n’a quasiment aucun effet. Il en est de même pour la diffusion des vitesses (quel que soit le coefficient de diffusion des vitesses retenu dans le modèle à viscosité constante).


Linéarisation de la propagation : Telemac2d permet de linéariser les équations de propagation en éliminant les termes non linéaires. Cette option s’active par mot clé. Cette option n’est disponible que pour une unique profondeur sur tout le domaine. Cette option doit être activée pour se retrouver dans les conditions de la solution analytique. Dans ce cas, quelle que soit la valeur de la surface libre (et donc de la profondeur), une unique profondeur est considérée (ici 500 m) pour le calcul de la célérité considérée dans le terme de propagation.

Lorsque la linéarisation de la propagation est désactivée, la profondeur est actualisée à chaque pas de temps (ou sous itération) pour la prise en compte dans le terme de propagation.

Résultats

Moyennant quelques ajustements classiques en modélisation numérique, la solution analytique linéarisée est très bien reproduite par l’activation de la linéarisation de la propagation à profondeur constante.

L’imposition d’une onde sinusoïdale en imposant uniquement la variation temporelle de la surface libre et en utilisant la méthode de Thompson est très satisfaisante. Les variations des vitesses à l’entrée du canal sont parfaitement fidèles à celles théoriquement obtenues.

Concernant, la sortie de l’onde à la sortie du canal, la méthode de Thompson donne là aussi d’excellents résultats. Il peut cependant y avoir un phénomène de réflexion parasite à l’arrivée et donc la sortie de la première onde. Cela peut conduire à une petite perturbation qui se propage dans le sens des X décroissants puis à nouveau dans le sens des X croissants une fois que cette perturbation se réfléchit sur la frontière liquide entrante. Sachant que le canal est long de 10 000km (soit 3,3 fois la longueur d’onde), il est donc recommandé dans ce cas de considérer la phase d’initialisation terminée au bout de 9,9 périodes ce qui correspond à un aller – un retour - un deuxième aller (on gardera ici 10 périodes).

Il a été possible de réduire le phénomène de réflexion parasite à la sortie en modifiant le pas de temps et l’implicitation. On perd cependant dans ce cas certaines qualités du modèle.


Propag linvsnonlin.png

L'illustration ci-dessus compare l'instantané de la surface libre le long du canal pour le cas linéarisé (en rouge) et le cas sans linéarisation (en bleu). On remarque que dans le cas où la propagation est linéarisée avec une profondeur constante de 500 m, on garde une sinusoïde quasi-parfaite au cours de la propagation. Les crêtes hautes (+5 m), les niveaux moyens (0 m) et les creux (-5 m) se "déplacent" à la même vitesse. Il y a translation de l'onde à la vitesse LaTeX: c= \sqrt{gH}.

La déformation de l'onde au cours de sa propagation est bien visible sur le cas non linéarisé (en bleu). L'onde se cambre en se propageant du fait de la dépendance de la vitesse à la profondeur. Les crêtes auront tendance à se déplacer plus vite et les creux moins vite par rapport à la solution linéarisée. Si on avait un canal plus long, on finirait par obtenir une onde trop cambrée qui atteindrait sa limite de déferlement. Le code de calcul (non adapté au déferlement) deviendrait instable.

Propag linvsnonlin analyse-temporelle-sortie2.png

La même analyse a été conduite en s'intéressant aux variations temporelles de la surface libre et des vitesses à la sortie du canal. On observe la déformation de l'onde dans le cas non-linéaire (en bleu) avec des crêtes qui sont en avance sur le cas linéarisé (en rouge) et des creux qui sont en retard. Par conséquent à la sortie du canal, le montant (flot) est plus court que le perdant. Cette asymétrie est aussi bien visible sur la norme des vitesses. Les pleines mers sont en avance de 25 à 30 min et les basses mers sont en retard de 25 à 30 min en sortie de canal (après avoir parcouru 10000km) par rapport au cas linéarisé.
->> on se retrouve donc avec un flot qui dure 5h à 5h10 et un jusant qui dure 6h50 à 7h.

Bibliographie

  • Revisiting the Thompson boundary conditions, J-M. HERVOUET, C. DENIS, E. DAVID, Proceedings of the XVIIIth Telemac & Mascaret User Club, October 2011, EDF R&D, Chatou.
  • K.W. Thompson, Time dependent boundary conditions for hyperbolic systems. Journal of Computational physics 68,1-24. 1987.
  • C. Le Provost, M Elio Saenz, Symulation numérique de la propagation non-linéaire d’une onde longue dans un canal de profondeur constante. Comparaison de quelques méthodes aux différences finies, OCEANOLOGIE No.9 (1978).
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