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ANSWER : ondes de disjonction dans les canaux : Différence entre versions

De Wikibardig
(Animations)
(Equation de quantité de mouvement)
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\sum {F_e}= \int_{V} \ro\dfrac{ \partial U }{ \partial t } \mathrm{d}V + \int_{V} \ro U\dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}V
+
\sum {F_e}= \int_{V} \rho\dfrac{ \partial U }{ \partial t } \mathrm{d}V + \int_{V} \rho U\dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}V
 
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Version du 2 juin 2023 à 19:25

Sommaire

Eléments de contexte

Cette fiche a été conçue dans le cadre du projet de sciences participatives ANSWER qui a pour objectif de rassembler ou de développer suivant l'état des connaissances, des solutions analytiques des équations de Navier-Stokes dans les domaines de l'hydraulique à surface libre. Il s'agit de les valider par des essais en laboratoire et de les comparer avec des codes de calcul sur des cas schématiques. Des vidéos illustrent ces processus dans la nature si cela s'avère techniquement réalisable.

Essais sur modèle physiques à la CNR

Les élèves de l'ENTPE ont réalisé une série d'essais sur modèle physique sur les ondes de disjonction résultant de 'l'effacement de barrage. Cette campagne s'est déroulée pendant une semaine du mois d'octobre 2016 au laboratoire de la Compagne Nationale du Rhône à Lyon.

Les mesures et leur exploitation sont disponibles sur la page ICI

Les théories en vigueur sur les ondes de disjonction font l'objet du présent article. Elles se limitent à une approche analytique et non numérique.

Problématique

Le problème de la rupture de barrage a été étudié par Ritter à la fin du 19ème siècle qui a signé la publication de sa théorie [1] dans le cas simplifié d'un canal à fond plat en supposant un effacement instantanée du barrage et en négligeant tout frottement sur les parois et le fond du lit du canal. De plus, l'aval du canal était supposé sec.

En 1951, Stoker [2] repris le problème en étudiant des cas plus complexes et plus réalistes en prenant en compte la pente du canal, la présence d'une lame d'eau à l'aval du barrage puis du frottement sur le fond.

Whitman a proposé en 1954 une méthode approchée pour calculer l'effet du frottement sur le fond, ce qui a permis d'obtenir une ligne d'eau plus conforme à la réalité.

Des développements assez récents ont encore été réalisés pour améliorer la précision des résultats (Hogg & Pritchard, 2004; Ancey et al. 2006 et 2007).

Les essais que nous avons réalisés à la CNR en octobre 2016 ont permis la constitution d'une base de données comprenant plusieurs essais où le niveau d'eau amont, le niveau d'eau aval, le débit et la pente du fond ont varié suivant les configurations étudiées.

Nous allons comparer les mesures obtenues sur le canal expérimental aux théories de Ritter et de Stoker. Pour présenter ces 2 théories, nous utiliserons l'approche de Graf et Altinakar [3]

Nous nous placerons ici dans des configurations de fermeture ou d'ouverture de vannes, qui vont provoquer de brusques variations et la génération d'ondes que nous appellerons ondes de disjonction ou de translation. L'écoulement sera supposé non stationnaire et rapidement varié. Nous distinguerons quatre différents types d'onde qui résultent de deux situations :

  • la fermeture d'une vanne produit :
une onde positive vers l'amont (blocage du débit) qui provient donc de l'aval (appelée onde positive d'aval)
une onde négative vers l'aval (baisse de niveau dû à une diminution de débit) qui provient donc de l'amont (appelée onde négative d'amont)
  • l'ouverture d'une vanne produit:
une onde négative vers l'amont (augmentation du débit à l'aval) qui provient donc de l'aval (appelée onde négative d'aval)
une onde positive vers l'aval (augmentation de débit) qui provient donc de l'amont (appelée onde positive d'amont)

Nous nous inspirerons des développements de W.H. Graf et M.S. Altinakar [1].

La figure suivante représente les 4 ondes de disjonction (ou de translation)

Figure 1

En ce qui concerne le type de modélisation qui pourrait représenter les 4 ondes, il convient de remarquer que :

  • les ondes positives d'amont ou d'aval constituent une surélévation par rapport au plan d'eau initial. Le choc provenant de la discontinuité de la ligne d'eau supérieure se propage avec une profondeur supérieure au niveau inférieur de la discontinuité. L'onde déferle donc rapidement, sous forme d'un ressaut qui se propage à haute vitesse. Cette onde positive ne peut donc pas se modéliser par un modèle de Saint-Venant.
  • les ondes négatives par contre sont des ondes de détente puisque le niveau supérieur de l'onde correspondant à la surface libre se déplace plus vite que le niveau inférieur de la surface libre initiale (car la profondeur d'eau est supérieure au niveau du choc). Ces ondes peuvent donc se modéliser avec des modèles de Saint-Venant.

Dans la suite de cet article, nous allons étudier séparément les ondes négatives et les ondes positives.

L'exemple de la rupture d'un barrage va nous permettre de conjuguer ces 2 processus.

Ondes positives

Nous avons vu que les équations de Saint-Venant ne pouvaient pas être utilisées pour représenter des discontinuités. Nous utiliserons les relations de continuité de de quantité de mouvement selon 2 sections successives:


Equation de continuité

Considérons un volume unité de fluide. L'équation de continuité traduit la conservation du fluide le long d'un tube de courant $ x $ qui traverse avec un débit $ Q $ une surface $ S $. Elle s'écrit:

$ \dfrac{ \partial S }{ \partial t }+\dfrac{ \partial Q }{ \partial x }=0 $

Or le premier membre peut être transformé en :

$ \dfrac{ \partial S }{ \partial t }=\dfrac{ \partial S}{ \partial Q }\dfrac{ \partial Q}{ \partial t } $

L'équation de continuité s'écrit alors:

$ \dfrac{ \partial S }{ \partial Q}\dfrac{ \partial Q}{ \partial t }+\dfrac{ \partial Q}{ \partial x }=0 $

Ou encore:

$ \dfrac{ \partial Q }{ \partial t}+\dfrac{ \partial Q}{ \partial S }\dfrac{ \partial Q}{ \partial x }=0 $ soit $ \dfrac{\partial Q }{ \partial t }+c\dfrac{ \partial Q }{ \partial x }=0 $

avec $ c=\dfrac{ \partial Q }{ \partial S} $

qui est la célérité de l'onde transportant le débit $ Q $:

Equation de quantité de mouvement

La première loi de Newton nous permet d'écrire que la variation de quantité de mouvement d'un corps de masse $ m $ occupant un volume de contrôle $ V $ est le résultat de la somme des forces qui lui sont appliquées. Ainsi:

$ \sum\vec{ F_e}= \int_{m} \dfrac{ d(m\vec{U}) }{ d t } =\int_{V} \rho\dfrac{ d\vec{U} }{ d t } \mathrm{d}V $

Nous supposons que l'axe des $ x $ est perpendiculaire à la surface $ S $. Si le fluide ne se déplace que selon la direction $ x $, nous pouvons écrire:

$ \dfrac{ dU}{ dt } = \dfrac{ \partial U}{ \partial t } +U\dfrac{ \partial U}{ \partial x} $

Soit :

$ \sum {F_e}= \int_{V} \rho\dfrac{ \partial U }{ \partial t } \mathrm{d}V + \int_{V} \rho U\dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}V $

Traitons ces deux membres en décomposant la direction $ x $ et la surface $ S $ :

$ \sum {F_e}=\sum {F_{e1}}+\sum {F_{e2}} $

première partie

$ \sum {F_{e1}}= \int_{V} \rho \dfrac{ \partial U }{ \partial t} \mathrm{d}V $

qui peut se décomposer suivant la direction $ x $ et la surface $ S $, avec $ \rho=cste $

$ \sum {F_{e1}}= \rho \int_{x} \int_{S} \dfrac{ \partial U }{ \partial t} \mathrm{d}x \mathrm{d}S $

Ce qui conduit à:

$ \sum {F_{e1}}= \rho \int_{x} \dfrac{ \partial Q }{ \partial t} \mathrm{d}x $

En utilisant l'équation de continuité, nous obtenons entre deux sections;

$ \sum {F_{e1}}= -\rho c\int_{x} \dfrac{ \partial Q }{ \partial x} \mathrm{d}x $
Soit en intégrant suivant la direction $ S $ :

$ \sum {F_{e1}}= -\rho c \Delta Q $

seconde partie

$ \sum {F_{e2}}= \rho\int_{x} \int_{S} \ro U\dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}x \mathrm{d}S $

Nous obtenons:

$ \sum {F_{e2}}= \rho \int_{x} \dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}x \int_{S} U\mathrm{d}S $

Or la seconde partie de l'intégrale représente le débit traversant la surface $ S $ :

L'équation de continuité s'écrit donc:

$ \sum {F_{e2}}= -\rho \Delta U Q $

expression générale de l'équation de continuité

$ \sum {F_{e}}= \rho Q \Delta U- \rho c \Delta Q $

Application à un canal

Soit un canal rectiligne de gabarit constant. Ecrivons le système d'équations (continuité et quantité de mouvement) entre 2 sections $ S_1 $ et $ S_2 $ caractérisées par des vitesses de l'écoulement $ U_1 $ et $ U_2 $ .

$ \begin{cases} (U_1-c)S_1=(U_2-c)S_2 \\ \sum {F_{e}}= \rho \left[ Q_2U_2-Q_1U_1-c (Q_2-Q_1) \right] \end{cases} $

En réarrangeant et en utilisant l'équation de continuité, nous obtenons:

$ \begin{cases} (U_1-c)S_1=(U_2-c)S_2 \\ \sum {F_{e}}= \rho \left[ (U_2-U_1)(U_1-c) S_1 \right] \end{cases} $

Nous allons maintenant exprimer les forces extérieures pour un canal de gabarit constant et de pente négligeable et de très faible rugosité. Seule est donc prise en compte les forces de pression qui s'exercent selon les deux surfaces de profondeur $ h_1 $ et $ h_2 $ et de largeur $ B $

$ \sum {F_{e}}= -\rho g \int_{x} S \dfrac{ \partial h }{ \partial x} \mathrm{d}x =-\rho g \int_{x} Bh \dfrac{ \partial h }{ \partial x} \mathrm{d}x=-\rho g B\int_{x} S \dfrac{ 1}{ 2} \dfrac{ \partial h^2 }{ \partial x} \mathrm{d}x $

D'où finalement entre les sections$ S_1 $ et $ S_2 $ :

$ \sum {F_{e}}= g\dfrac{ h_1^2 }{ 2}-g\dfrac{ h_2^2 }{ 2} $

Finalement nous obtenons :

$ g\dfrac{ h_1^2 }{ 2}-g\dfrac{ h_2^2 }{ 2}=h_1(U_1-c)(U_2-U_1) $

et donc l'expression de la célérité de l'onde:

$ c=U_1-\sqrt {gh_1} \sqrt { \dfrac {h_2 }{ 2h_1} \left( 1+\dfrac { h_2 }{ h_1} \right) } $

Pour résoudre ce problème, nous connaissons en général $ h_1 $, $ U_1 $ et la variation de débit $ \Delta Q $.

En utilisant cette dernière relation et la valeur de la célérité : $ c=\Delta Q/\Delta S =\Delta q/\Delta h $, nous pouvons en déduire $ h_2 $ et $ c $ par itérations.

Ondes négative : onde de rupture d'un barrage

Nous avons vu que l'onde négative peut être représentée, contrairement aux chocs, par le système des équations de Saint-Venant.

Nous allons déterminer dans ce cas simple, le profil de l'onde de rupture d'un barrage en utilisant successivement les théories de Ritter [1] et de Stoker [2]

Théorie de Ritter

Cette théorie suppose un effacement immédiat du barrage dans un canal de section constante, sans pente et sans frottement. Elle prend appui sur la théorie des caractéristiques, remarquablement formulée par Courant et Friedrichs [4], elle consiste à partir des équations de SaintVenant 1D:

$ \begin{cases} \dfrac{ \partial u }{ \partial t }+u\dfrac{ \partial u }{ \partial x }+g\dfrac{ \partial \eta }{ \partial x }=0<br /> \\\\ \dfrac{ \partial \eta }{ \partial t }+\dfrac{ \partial (h+\eta)}{ \partial x }=0 \end{cases} $

En opérant le changement de variable $ c=\sqrt{g(h+\eta) } $, nous obtenons:

$ \begin{cases} \dfrac{ \partial u }{ \partial t }+u\dfrac{ \partial u }{ \partial x }+2c\dfrac{ \partial c }{ \partial x }=0<br /> \\\\ \dfrac{ 2\partial c }{ \partial t }+2u\dfrac{ \partial c}{ \partial x }+c \dfrac{ \partial u}{ \partial x }=0 \end{cases} $

En faisant respectivement la somme et la différence de ces 2 équations, nous obtenons:
$ \begin{cases} \left [ \dfrac{ \partial }{ \partial t }+(u+c)\dfrac{ \partial }{ \partial x } \right](u+2c)=0<br /> \\\\ \left [ \dfrac{ \partial }{ \partial t }+(u-c)\dfrac{ \partial }{ \partial x } \right](u-2c)=0<br /> \end{cases} $

Ces 2 relations représentent les équations de deux courbes caractéristiques $ C^+ $ et $ C^- $, de pentes respectives:

$ \begin{cases} \dfrac{ dx }{ dt }=u+2c<br /> \\\\ \dfrac{ dx }{ dt }=u-2c<br /> \end{cases} $

le long desquelles la quantité $ u+2c $ est constante sur $ C^+ $ et la quantité $ u-2c $ est constante sur $ C^- $. Ceci signifie que l'une ou l'autre des ces 2 invariants $ u\pm 2c $ est constant pour un point se déplaçant au sein du fluide avec la vitesse $ u\pm c $.

Nous allons appliquer cette théorie au problème de la rupture d'un barrage, dont la surface libre est représentée à différents pas de temps sur la figure ci-dessous:

Stoker Surface libre.png IntersectionCaractéristiques.jpg

Lorsque le barrage disparait instantanément, il se produit une onde de détente qui se déplace à la fois vers l'aval sur fond sec et vers l'amont. Dans l'espace (x,t), 3 zones différentes apparaissent:

  • Zone I : Cette zone n'est pas impactée par la remontée de l'onde vers l'amont. C'est une zone de calme
  • Zone III : Cette zone n'est pas impactée par la propagation de l'onde de détente vers l'aval. C'est une zone de calme
  • Zone II : Il s'agit de la zone perturbée par l'onde de détente qui s'étend progressivement à la fois vers l'amont et vers l'aval. Les caractéristiques $ C^- $ sont représentées par un faisceau de droites dont chacune représente le déplacement d'un point initialement situé à t=0 le long de la verticale du barrage. Ces droites caractéristiques ont pour équation:

$ \qquad C_i^-: \quad \dfrac{ dx }{ dt }=u-c $ le long de laquelle $ u-2c =Cste $
Pour connaitre les coordonnées du point $ P(x,t) $ situé initialement à une profondeur $ h $ de la verticale du barrage à l'instant $ t=0 $, nous pouvons remarquer que ce point se situe à l'intersection de la caractéristique négative du faisceau d'onde de détente $ C_- $ avec une caractéristique positive en provenance de l'amont $ C_+ $.

Il nous faut donc "remonter" la caractéristique $ C_+ $ sur laquelle la quantité $ c+2u $ se conserve. A son intersection avec l'axe des $ x $ à $ t=0 $, les valeurs de la vitesse et de la célérité sont : $ u_0=0 $ et $ c_{1}=2\sqrt{gh_1} $. Nous obtenons ainsi la valeur de la célérité de l'onde en ce point $ P $:
$ c_{t1}=\dfrac{ dx }{ dt }=u-c=-3c+2c_1=-3\sqrt{gh}+2\sqrt{gh_1} $

Ces 3 zones sont délimitées par des caractéristiques frontières:

  • Zone I - Zone II: Cette caractéristique représente la propagation du point supérieur du barrage à la célérité $ c_{t1} $ :

$ \qquad C_1^-: \quad \dfrac{ dx }{ dt }=u_1-c_1 $. Or $ u_{1}=0 $, soit $ c_{t1}=-\sqrt{gh_1} $

  • Zone II - Zone III: . Cette caractéristique frontière représente la propagation du front d'onde de détente sur le fond sec à l'aval. Dans l'expression générale valable dans la Zone II, nous obtenons:

De l'expression générale de la célérité valable en zone 2 nous en déduisons pour la point de hauteur $ h_1} $:

Le front d'onde sur font sec se déplace donc à une célérité double de celle de l'onde de régression amont.

Reprenons donc l'expression de la célérité de l'onde de détente:

$ \qquad C_t^-: \quad \dfrac{ dx }{ dt }=-3\sqrt{gh}+2\sqrt{gh_1} $

La courbe de la surface libre s'obtient en intégrant cette dernière relation, ce qui donné:

$ \qquad C_t^-: \quad \dfrac{ x }{ t }=-3\sqrt{gh}+2\sqrt{gh_1} $

Dans l'espace $ (h,x) $, nous obtenons l'équation suivante:

$ h=\dfrac{ 1 }{ 9g }(\dfrac{ x }{ t }-2\sqrt{gh_1}) $

qui correspond à un faisceau de paraboles qui passent toutes par le point fixe d'équation: $ h_f=\dfrac{ 4 }{ 9 } h_1, x_f=0 $

En ce point, la vitesse du courant est égale à :

$ u_f+2c_f=2\sqrt{gh_1} \qquad \Rightarrow\qquad u_f=-2\sqrt{gh_f}+2\sqrt{gh_1} $

$ u_f=-2\sqrt{g \dfrac{ 4 }{ 9} h_1}+2\sqrt{gh_1}=\dfrac{ 2 }{ 3}\sqrt{gh_1} $

et le débit transitant dans la section de la vanne:

$ u_fh_f=\dfrac{ 2 }{ 3} \sqrt{gh_1}\dfrac{ 4}{ 9}h_1=\dfrac{ 8 }{ 27} h_1\sqrt{gh_1} $

Les courbes suivantes représentent les évolutions normalisées des grandeurs: $ \dfrac{ c_t }{ c_1} ; \dfrac{ c}{ c_1} ;\dfrac{ u }{ c_1} $

avec : $ c_1=\sqrt{gh_1}; c=\sqrt{gh}, h_*=h/h_1 $

$ \dfrac{ c_t }{ c_1}=-3\sqrt{h_*}+2; \dfrac{ c_ }{ c_1}=\sqrt{h_*}; \dfrac{ u }{ c_1}=-2\sqrt{h_*}+2 $

Ritter H2.png Ritter C.png Ritter CT.png

Tracé du diagramme des caractéristiques

Nous avons vu précédemment que les caractéristiques $ C^- $ sont des droites faciles à tracer.

Par contre, les caractéristiques $ C^+ $ ne sont pas des droites et leur tracé peut être réalisé de proche en proche de la manière suivante :

  • nous partons du pied de la caractéristique en prenant un point sur l'axe des x en amont : $ P_0 (x_{p0}, t_{p0}=0) $
  • nous passons au point $ P_1 (x_{p1}, t_{p1}) $ le long de $ C^+ $ qui vient couper $ C^- $, qui correspond à une hauteur d'eau relative $ h_{p1}=1 $
Ce point appartient donc d'une part à la caractéristique $ C^- $ et on peut donc écrire : $ x_{p1}=-c_0t_{p1} $
Par ailleurs, $ P_1 $ appartient également à la caractéristique $ C^+ $ issue de $ P_0 $, ce qui nous permet d'écrire:
$ \dfrac{dx} {dt} =u+c_0=c_0 $ (puisque la vitesse est nulle en amont du réservoir au repos), d'où :
$ x_{p1}=x_{p0}+c_0t_{p1} $
On en déduit les coordonnées de $ P_1  : x_{p1}=x_{p0}/2 $ et $ t_{p1}=-x_{p0}/(2 c_0) $
  • en suivant $ C^+ $ nous partons alors de $ P_1 $ pour atteindre $ P_2 $ qui se trouve sur une autre caractéristique $ C^- $ correspondant à une autre hauteur d'eau inférieure, par exemple $ h_{p1}=0.9 $ si on choisit un pas de discrétisation $ dh=0.1 m $.
De la même manière que précédemment, nous écrivons les 2 conditions d'appartenance de $ P_2 $ à 2 caractéristiques:
$ P_2 $ appartient à $ C^+ $ : $ \dfrac{dx} {dt} =u+c=c_0 $ soit $ \dfrac{x_{p2}-x_{p1}} {t_{p2}-t_{p1}} =u_{p2}+c_{p2}=c_0 $
le long de cette caractéristique, la quantité $ u+2c $ se conserve (invariant de Rieman), d'où : $ u_{p2}+2c_{p2}} =u_0+2c_0 $
$ P_2 $ appartient à $ C^- $ : $ \dfrac{dx} {dt} =-3c_{p2}+2c_0+u0} $

De l'ensemble de ces relations, nous en déduisons les coordonnées de $ P_2 $

$ t_{p2}= x_{p1}-t_{p1}(-c_{p2}+2c_0+u_0} )/(-2c_{p2}) $

$ x_{p2}=(-3c_{p2}+2c_0+u_0})t_{p2} $

L'avancée progressive de cet algorithme en prenant ici comme pas de discrétisation pour les caractéristiques $ C^+ (en bleu) : dx=50 m $ et pour les caractéristiques $ C^- (en rouge) : dh=0.1 $ nous permet de tracer le diagramme des caractéristiques:

Ritter-diag-caract.png

Théorie de Stoker

Stoker (1957) compléta la théorie de Ritter en traitant des configurations plus complètes, toujours par la théorie des caractéristiques. Nous nous intéresserons ici à la prise en compte d'une lame d'eau à l'aval du barrage.

Le problème à résoudre est très semblable au précédent, si ce n'est la présence de la lame d'eau d'épaisseur $ h_a $ à l'aval de la zone de rupture du barrage, qui va avoir un impact sur l'ensemble de la dynamique des processus.

Nous sommes donc toujours dans la situation du développement d'un faisceau d'ondes de détente dans la Zone II. Les zones I et III sont des zones de calme. Cependant, il apparait une onde de compression à l'aval du profil initial du barrage (x=0).

Comme l'indique Graf [4], la seule possibilité pour relier le profil de l'onde négative avec la surface libre est de créer une discontinuité sous la forme d'une onde positive d'amont, d'une profondeur $ h_2 $.
Nous identifions 2 points particuliers:

  • le point $ C $, qui délimite la zone de transition caractérisée par l'onde où la profondeur d'eau est $ h_2 $. et la vitesse $ U_2 $. A l'aval de $ C $, la profondeur d'eau est $ h_0 $ et la vitesse $ U_0=0 $
  • le point B qui délimite l'onde négative d'aval caractérisée par la vitesse $ U(h)=U_1-2\sqrt{gh}+2\sqrt{gh_1} $ et la zone de transition $ h_2,U_2 $

Par ailleurs, nous avons vu que l'équation de continuité pour l'onde positive est donnée par:

$ (U_0-C_{tc})h_0=(U_2-C_{tc})h_2 $

Soit : $ C_{tc}(h_2-h_0)=U_2h_2 $

L'introduction de la valeur de la vitesse de l'onde négative d'aval : $ U(h)=-2\sqrt{gh_2}+2\sqrt{gh_1} $ , nous donne:

$ C_{tc}=\dfrac{ (-2\sqrt{gh_2}+2\sqrt{gh_1})h_2 }{ h_2-h_0 } $

Par ailleurs, nous avions vu que la relation de continuité nous a permis d'obtenir:

$ C_{tc}=\sqrt{gh_0}\sqrt{\dfrac{h_2}{ 2h_0} (1+\dfrac{h_2}{ h_0})}} $

La comparaison de ces 2 relations nous permet de calculer les valeurs de $ C_{tc} $ et de $ h_2 $ par itérations.

Nous poserons: $ H_2=\dfrac{h_2}{ h_0} $ et $ H_1=\dfrac{h_1}{ h_0} $

Il vient pour calculer $ H_2 $:

$ 2(1-\sqrt{H_2} )\dfrac{H_2}{ H_2-H_1} =\sqrt{\dfrac{H_2}{ 2} (1+\dfrac{H_2}{ H_1} ) } $

D'où les expressions de la vitesse de l'eau:

$ \dfrac{U_2}{ C_1}= 2(1-\sqrt{H_2} ) $

la célérité du front d'onde:

$ \dfrac{C_{tc}}{ C_1}= \dfrac{2H_2}{ H_2-H_1} (1-\sqrt{H_2} ) $

et le nombre de Froude de l'onde positive:

$ Fr=U_2\sqrt{\dfrac{H_1}{ H_2} } $

Ces 5 courbes qui correspondent à ces relations sont représentées ci-après:

Stoker H2.png Stoker U2A.png Stoker CtA.png
Stoker Q.png Stoker FR.png]

Discussion

Lorsque le barrage disparait, il se produit donc une onde de détente vers l'amont et une onde de compression vers l'aval. Plusieurs configurations sont donc possibles suivant les valeurs de h0 et donc de h2 qui en résultent par rapport à la valeur de la hauteur du point pivot du faisceau des caractéristiques $ h_f $. Des courbes précédentes, nous pouvons déduire que le point pivot est le point de régime critique où le nombre de Froude est égal à 1.

3 cas peuvent alors être distingués:

$ h_2>h_f $

L'intersection des caractéristiques et de la profondeur $ h_2 $ est donc repoussé vers l'amont.

$ h_2=h_f $

Ce cas correspond à la profondeur critique. B est donc situé sur l'axe vertical des temps. $ h_2<h_f $

Dans ce cas, c'est l'onde négative d'aval qui contrôle le débit qui passe par la section de contrôle (section de l'effacement du barrage). Le point d'intersection B est donc celui du faisceau des caractéristiques avec la profondeur de l'onde positive aval $ h_2 $.

Remarques

  • lorsque la lame d'eau aval tend vers la profondeur en amont du barrage, la vitesse de l'eau tend vers 0
  • lorsque la lame d'eau aval tend vers 0, la célérité de l'onde tend vers le double de la célérité de l'onde de détente vers l'amont. Cependant, le nombre de Froude tend vers l'infini, dû à la hauteur d'eau nulle. Les 2 théories de Ritter et de Stoker sont donc cohérentes aux limites
  • si l'on considère la décroissance de la célérité de l'onde aval avec l'augmentation de la profondeur d'eau aval, il est un peu étonnant de constater que cette célérité diminue fortement. Ceci nécessite de valider cestte t
Stokerh0=05h1.png Stokerh0=hf.png Stokerh0=001h1.png

Animations

Les animations suivantes donnent une vision dynamique du processus de rupture Pour les ruptures, dans les deux cas la hauteur amont est de 13 cm, ce qui correspond aux essais expérimentaux. La hauteur en aval est ensuite de 1 ou 3 cm. Pour le cas de fermeture de vanne, la hauteur d'eau est supposée égale en amont et en aval (vanne ouverte) et de 4 cm. Le débit initial est de 4 m3/h et le débit final nul.


Fermh4q4.gif Rupture 13 1.gif Rupture 13 3.gif

Réalisation d'essais physiques à la CNR

Plusieurs essais physiques ont été réalisés à la CNR sur le canal de laboratoire.

Nous renvoyons le lecteur à la page ici

Bibliographie

  1. Ritter, 1951,
  2. Stoker A., 1975, "Water waves", Intersciences Pub. Inc. New York, USA
  3. Hunt B., 1984a, Perturbation solution for dam-break floods. Journal of hydraulic Engineering, Vol. 110, N°8, pp. 1058-1071
  4. Hunt B., 1984b, Dam-break solution. Journal of hydraulic Engineering, Vol. 110, N°6, pp. 675-686
  5. Hydraulique fluviale - vol. 16 - Ecoulement et phénomènes de transport dans les canaux à géométrie simple, 628 p., Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000
  6. Laurianne Curty, "Modélisation Numérique des Ondes de Favre"", Mémoire de fin d'études, ENGEES 08-2014, 74 p.

Les auteurs

  • Jean-Michel Tanguy  : SHF
  • William Pophilat : ENTPE - étudiant

Remerciements

Les auteurs expriment leurs remerciements à :

  • CNR
Laurence Duchenne, Pierre Roumieu et Pierre Balayn ainsi qu'à tous les personnels de la CNR qui ont aidé à la réalisation de ces essais
  • ENTPE
Bernard Clément responsable du projet FORM@HYDRO
Chloé Maty - étudiante
Angeline Dupay - étudiante
Emmanuelle Dupont - étudiante
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