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Barré de Saint Venant (équations de) (HU) : Différence entre versions

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(Écriture compacte)
(Écriture compacte)
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<center><math>S(U) = \binom{q}{g.(I-J)+(k-1)q.\frac{V}{S}} \quad(9)</math> qui représente les termes sources ;</center>
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<center><math>S(U) = \binom{q}{g.(I-J)} \quad(9)</math> qui représente les termes sources ;</center>
  
  

Version du 11 août 2022 à 15:50

Traduction anglaise : Barré de Saint-Venant's equations

Dernière mise à jour : 11/08/2022

Les équations de Barré de Saint Venant décrivent les écoulements à surface libre non permanents, unidimensionnels ou bidimensionnels.

Leur résolution permet de définir, selon les coordonnées de l'écoulement, les variations temporelles du niveau d’eau (voir ligne d'eau) de la vitesse et du débit dans les sections retenues pour le calcul.

Sommaire

Éléments d'historique

L'étude mathématique des écoulements à surface libre en régime transitoire n'est pas une discipline scientifique nouvelle. Elle a débuté, il y a déjà près de 250 ans, lors de l'essor de l'ensemble des théories mécaniques, avec les travaux de Laplace (1776) et de Lagrange (1781) sur la propagation d'ondes à la surface de canaux. Dès 1871, Barré de Saint Venant réussit à représenter mathématiquement le mouvement unidimensionnel des eaux à surface libre par un système d'équations aux dérivées partielles. Depuis lors, ces équations servent de base aux modèles mathématiques d'écoulement à surface libre. Les modèles mathématiques issus des équations de Barré de Saint Venant font partie de la famille des modèles mécanistes.

En raison de la grande quantité de calculs qu'elle nécessite, la résolution numérique des équations complètes de Saint-Venant n'est possible que depuis l'invention des ordinateurs, c'est à dire la deuxième moitié du 20ème siècle.

Écriture des équations de Barré de Saint venant

Hypothèses générales

Ces équations ont tout d'abord été établies pour des écoulements unidimensionnels. Ceci suppose donc :

  • que l'écoulement se fasse le long d'une direction privilégiée $ x $ ;
  • que les caractéristiques de ces écoulements (en particulier leur vitesse) puissent être considérées comme correctement approchées par leurs valeurs moyennes dans une section droite orthogonale à $ x $.

Les variables sont le débit $ Q(x,t) $ et la section mouillée $ S(x,t) $, ou la vitesse $ V(x,t) $ et le tirant d'eau $ h(x,t) $, ou encore la cote $ z(x,t) $ de la surface libre, toutes fonctions des seuls paramètres abscisse x, temps t. Pour simplifier l'écriture ces variables seront simplement notées $ Q{,} S{,} V{,} h{,} z $.

La vitesse considérée ici est donc une vitesse moyenne débitante, telle que l'on puisse écrire : $ Q = V.S $, et la hauteur transversale est supposée constante sur la largeur de la surface libre. Il n'est donc pas possible de tenir compte de surélévation intrados-extrados dans les coudes, ce qui exclut, en toute rigueur, de simuler les écoulements dans des tronçons présentant des courbures importantes.

Une hypothèse importante sous-jacente à l'unidimensionnalité réside dans la répartition hydrostatique des pressions, hypothèse qui permet d'écrire la résultante des forces de pression sous la forme :


$ g.\frac{\partial h}{\partial x}.dx \quad(1) $

Ceci suppose qu'il n'y a pas de composante verticale de la vitesse et donc qu'il n'y a pas de surélévation brutale de la ligne d'eau ou des fonds.

Remarque : malgré ces limites théoriques, il arrive cependant souvent que ces équations soient utilisées en dehors de leur champ normal d'application, par exemple pour traiter de la propagation d'ondes associées à des manœuvres brusques, telles que des lâchures de barrage, des ouvertures rapides de vannes, etc.

Les équations de Barré de Saint Venant sont formées d'un couple de deux équations aux dérivées partielles en $ x $ et $ t $, traduisant :

  • la conservation de la masse ;
  • la loi fondamentale de la dynamique.

Pour les réseaux d'assainissement, les couples de variables les plus couramment utilisées pour écrire ces équations sont $ (Q, h) $ ou $ (V, h) $. Dans le cas des milieux naturels où les pentes sont difficiles à définir on utilise plutôt $ (Q, z) $ ou $ (V, z) $.

Conservation de la masse

L'équation dite de continuité traduit la conservation de la masse et s'écrit :


$ \frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}=q \quad(2) $

$ q $ représente un éventuel débit latéral, par unité de longueur, positif ou négatif selon qu'il s'agit respectivement d'un débit d'apport ou de fuite.

En notant $ B(h) $ la largeur de la surface libre, on peut écrire :


$ \frac{\partial S}{\partial t}= B(h).\frac{\partial h}{\partial t} \quad(3) $

L'équation (2) devient alors, avec le couple de variables ($ Q, h $) :


$ B(h).\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}=q \quad(2) $

La même équation peut également s'écrire avec le couple de variables ($ V,h $) en utilisant la relation : $ Q = V.S $.

Conservation de la quantité de mouvement

La seconde équation aux dérivées partielles est l'équation dynamique qui traduit la conservation de la quantité de mouvement, ou encore la loi fondamentale de la mécanique.

L'une des formulations les plus classiques est la suivante :


$ \frac{\partial Q}{\partial t}+\frac{\partial (Q^2/S)}{\partial x}+g.S.\frac{\partial h}{\partial x}=g.S.(I-J)+k.q.\frac{Q}{S} \quad(5) $

Avec :

  • $ I $ : pente du canal (m/m) ;
  • $ J $ : pente de la ligne d'énergie ou pertes de charge par unité de longueur (m/m) ;
  • $ k $ : coefficient compris entre -1 et +1 ; avec
  • $ k $ positif si le débit latéral est entrant (apport de quantité de mouvement) et négatif s'il est sortant (export de quantité de mouvement) ;
  • $ k $ proche de 0 si le débit d'apport (ou de fuite) est approximativement orthogonal à $ x $, de façon à ne pas apporter (ou emporter) en même temps une quantité de mouvement, tandis $ k=1 $ suppose que le débit d'apport (ou de fuite) apporte (emporte) avec lui sa quantité de mouvement avec une vitesse égale à celle de l'écoulement principal.

Nota : En pratique, dans les réseaux d'assainissement, on néglige généralement la quantité de mouvement apportée ou emportée par les apports ou les fuites latérales de débit.

L'emploi de la pente $ I $ dans l'expression des forces de pesanteur sous-entend des pentes faibles. Enfin, le fluide est supposé incompressible.

Avec ces différentes hypothèses et en divisant par S pour faire intervenir la vitesse moyenne de l'écoulement, l'équation (5) peut finalement se mettre sous la forme classique :


$ \frac{\partial V}{\partial t}+V.\frac{\partial V}{\partial x}+g.\frac{\partial h}{\partial x}=g.(I-J) \quad(6) $


Écriture compacte

Il est également possible d'utiliser une écriture vectorielle compacte des équations. En posant :


$ U = \binom{S}{V} \quad(7) $ qui représente le vecteur des variables conservatives ;


$ F(U) = \binom{Q}{\frac{V^2}{2} + g.h}\quad(8) $ qui représente les flux ;


$ S(U) = \binom{q}{g.(I-J)} \quad(9) $ qui représente les termes sources ;


on peut alors écrire :


$ \frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x}=S(U) \quad(10) $


Il existe encore d'autres formes pour cette équation. Notons en particulier que pour représenter les écoulements naturels, on préfère généralement travailler en cote $ z $ de la surface libre. Les équations sont identiques à la condition de remplacer $ h $ par $ z $ et de prendre $ I = 0 $ dans la relation (5) ou dans la relation (6).

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