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Barré de Saint Venant (équations de) (HU)

De Wikibardig

Traduction anglaise : Barré de Saint-Venant's equations

Dernière mise à jour : 29/3/2020

Les équations de Barré de Saint Venant décrivent les écoulements à surface libre non permanents, unidimensionnels ou bidimensionnels.

Leur résolution permet de définir, selon les coordonnées de l'écoulement, les variations temporelles du niveau d’eau (voir ligne d'eau) et du débit dans les sections mouillées retenues pour le calcul.

Sommaire

Éléments d'historique

L'étude mathématique des écoulements à surface libre en régime transitoire n'est pas une discipline scientifique nouvelle. Elle a débuté, il y a déjà plus de 200 ans, lors de l'essor de l'ensemble des théories mécaniques, avec les travaux de Laplace (1776) et de Lagrange (1781) sur la propagation d'ondes à la surface de canaux. Dès 1871, Barré de Saint Venant réussit à représenter mathématiquement le mouvement unidimensionnel des eaux à surface libre par un système d'équations aux dérivées partielles. Depuis lors, ces équations servent de base aux modèles mathématiques d'écoulement à surface libre. Les modèles mathématiques issus des équations de Barré de Saint Venant font partie de la famille des modèles mécanistes.

En raison de la grande quantité de calculs qu'elle nécessite, la résolution numérique des équations complètes de Saint-Venant n'est possible que depuis l'invention des ordinateurs, c'est à dire la deuxième moitié du 20ème siècle.

Écriture des équations de Barré de Saint venant

Hypothèses générales

Ces équations ont tout d'abord été établies pour des écoulements unidimensionnels. Ceci suppose donc :

  • que l'écoulement se fasse le long d'une direction privilégiée $ x $ ;
  • que les caractéristiques de ces écoulements puissent être considérées comme correctement approchées par leurs valeurs moyennes dans une section droite orthogonale à $ x $.

Les variables sont le débit $ Q(x,t) $ et la section mouillée $ S(x,t) $, ou la vitesse $ V(x,t) $ et le tirant d'eau $ h(x,t) $, ou encore la cote $ z(x,t) $ de la surface libre, toutes fonctions des seuls paramètres abscisse x, temps t. Pour simplifier l'écriture ces variables seront simplement notées $ Q, S, V, h, z $.

La vitesse considérée ici est une vitesse moyenne débitante, telle que l'on puisse écrire : $ Q = V.S $, et la hauteur transversale est supposée constante sur la largeur de la surface libre. Il n'est donc pas possible de tenir compte de surélévation intrados-extrados dans les coudes, ce qui exclut, en toute rigueur, de simuler les écoulements dans des tronçons présentant des courbures importantes.

Une hypothèse importante sous-jacente à l'unidimensionnalité réside dans la répartition hydrostatique des pressions, hypothèse qui permet d'écrire la résultante des forces de pression sous la forme :


$ g.\frac{\partial h}{\partial x}.dx $

Ceci suppose qu'il n'y a pas de composante verticale de la vitesse et donc qu'il n'y a pas de surélévation brutale de la ligne d'eau ou des fonds.

Remarque : malgré ces limites théoriques, il arrive cependant souvent que ces équations soient utilisées en dehors de leur champ normal d'application, par exemple pour traiter de la propagation d'ondes associées à des manœuvres brusques, telles que des lâchures de barrage, des ouvertures rapides de vannes, etc..

Les équations de Barré de Saint Venant sont formées d'un couple de deux équations aux dérivées partielles en $ x $ et $ t $, traduisant :

  • la conservation de la masse ;
  • la loi fondamentale de la dynamique.

Les couples de variables les plus couramment utilisées pour écrire ces équations sont $ Q, h $ ou $ V, h $ ($ Q, z $ ou $ V, z $ étant plutôt employées dans le cas d'un milieu naturel où les pentes sont difficiles à définir).

Conservation de la masse

Mot en chantier

Pour en savoir plus : www.lmmjussieu.fr/lagree/COURS/MFEnv/MFEn.pdf

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