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Convergence et stabilité des schémas numériques (condition de) (HU) : Différence entre versions

De Wikibardig
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<center><math>L_h.u_h = f_h </math></center>
 
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représente le problème formulé en différences finies (où <math>L_h</math> est l’opérateue algébrique équivalent appliqué à la fonction discrète <math>u_h</math>).
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représente le problème formulé en différences finies (où <math>L_h</math> est l’opérateue algébrique équivalent appliqué à la fonction discrète <math>u_h</math>), <math>h</math> étant le pas d'espace.
  
 
=== Erreur d’approximation===
 
=== Erreur d’approximation===
  
On dit que le schéma algébrique <math>\backslash | \|  L_h.u_h = f_h\|</math> approxime le problème différentiel <math>L.u = f</math> avec une erreur d’approximation d’ordre p si :  
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On dit que le schéma algébrique <math> L_h.u_h = f_h</math> approxime le problème différentiel <math>L.u = f</math> avec une erreur d’approximation d’ordre p si :  
 
      
 
      
  
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où K est une constante indépendante de h.
 
où K est une constante indépendante de h.
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=== Stabilité===
 
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On dit que le schéma algébrique Lh uh = fh est stable si le problème :
 
On dit que le schéma algébrique Lh uh = fh est stable si le problème :

Version du 3 octobre 2022 à 15:41

Traduction anglaise : Stability condition

mot en chantier

Dernière mise à jour : 03/10/2022

Lors de la résolution numérique des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles à conditions initiales par la méthode des différences finies, il est généralement nécessaire, pour assurer la convergence de la méthode, que la valeur du pas de temps $ Δt $ vérifie une condition plus ou moins restrictive, dépendante du (ou des) pas d'espace $ Δx $, $ Δy $.

Sommaire

Définitions

Pour simplifier, la présentation est faite dans le cas d'un problème avec une seule dimension d'espace (x)

Les notations utilisées sont les suivantes [Legras, 1963] :

$ L.u = f $

représente le problème de départ, $ L $ étant un opérateur différentiel appliqué à la fonction continue $ u(x) $ ;


$ L_h.u_h = f_h $

représente le problème formulé en différences finies (où $ L_h $ est l’opérateue algébrique équivalent appliqué à la fonction discrète $ u_h $), $ h $ étant le pas d'espace.

Erreur d’approximation

On dit que le schéma algébrique $ L_h.u_h = f_h $ approxime le problème différentiel $ L.u = f $ avec une erreur d’approximation d’ordre p si :


$ \backslash | { L_h.u_h = f_h}\| ≤ K.h^p $ \ quad(1)


où K est une constante indépendante de h.


Stabilité

On dit que le schéma algébrique Lh uh = fh est stable si le problème : Lh uh = fh + h (avec h arbitrairement petit), admet une solution zh unique telle que :

    (2)

où K est une constante indépendante de h. Ceci signifie que même si l’on perturbe légèrement l’équilibre, la solution obtenue reste du même ordre de grandeur. La stabilité d’un schéma discret signifie que sa solution est uniforme en h et qu’elle dépend continuement des seconds membres. Une faible variation du second membre entraîne en conséquence une faible variation de la solution.

Convergence

On dit que la solution (uh) du problème discret Lh uh = fh converge vers la solution u du problème initial L u = f, avec un ordre p si :

    (3)

où K est une constante positive indépendante de h. Cette condition est obtenue si le schéma Lh uh = fh est stable et si l’erreur d’approximation est d’ordre p. 2. CONDITION DE STABILITE DES SCHEMAS EXPLICITES DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE BARRE DE SAINT VENANT Les travaux de Courant-Friedrich-Levy [Ponce, 1980], [Chocat, 1978], [Holden & al., 1995] montrent que, dans le cas des équations de Barré de Saint Venant, la condition de stabilité des schémas de différences finies de type explicite peut toujours se mettre sous la forme suivante :

     (4)

Où C représente la célérité de l’onde dans un repère eulérien. C est imposée par les conditions de l’écoulement (forme et nature des biefs, allure de l’onde incidente). [Holden, 1995] a repris cette condition sous la forme suivante :

    (5)

Si on fixe x, la relation (5) impose la limite maximum de la valeur de t. A l’inverse, si on fixe la valeur minimum de t, elle donne la valeur minimum de x que l’on peut en pratique choisir :

Des conditions du même type peuvent être établies pour d’autres modèles de propagation de crue, soit sous forme analytique, soit sous forme empirique. Voir Courant-Friedrisch-Levy (condition de).


Voir  : Courant-Friedrisch-Levy (condition de).

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