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Convergence et stabilité des schémas numériques (condition de) (HU) : Différence entre versions
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| − | Pour simplifier, la présentation est faite dans le cas d'un problème avec une seule dimension d'espace (x). Les notations utilisées sont les suivantes (voir par exemple Legras, 1963) : | + | Pour simplifier, la présentation est faite dans le cas d'un problème avec une seule dimension d'espace (<math>x</math>). Les notations utilisées sont les suivantes (voir par exemple Legras, 1963) : |
| − | <center><math>L.u(x) = f(x) </math></center> | + | |
| + | <center><math>L.u(x) = f(x) \quad(1)</math></center> | ||
représente le problème de départ, <math>L</math> étant un opérateur différentiel appliqué à la fonction continue <math>u(x)</math> ; | représente le problème de départ, <math>L</math> étant un opérateur différentiel appliqué à la fonction continue <math>u(x)</math> ; | ||
| − | <center><math>L_h.u_h = f_h </math></center> | + | <center><math>L_h.u_h = f_h \quad(2)</math></center> |
représente le problème formulé en différences finies (où <math>L_h</math> est l’opérateur algébrique équivalent appliqué à la fonction discrète <math>u_h</math>), <math>h</math> étant le pas d'espace. | représente le problème formulé en différences finies (où <math>L_h</math> est l’opérateur algébrique équivalent appliqué à la fonction discrète <math>u_h</math>), <math>h</math> étant le pas d'espace. | ||
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| − | <center><math>\left\| {L_h.u_h = f_h}\right\| ≤ K.h^p \quad( | + | <center><math>\left\| {L_h.u_h = f_h}\right\| ≤ K.h^p \quad(3)</math> </center> |
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| − | <center><math>\left\| {z_h - u_h}\right\| ≤ K.\left\|ε_h \right\| \quad( | + | <center><math>\left\| {z_h - u_h}\right\| ≤ K.\left\|ε_h \right\| \quad(4)</math> </center> |
où <math>K</math> est une constante indépendante de <math>h</math>. | où <math>K</math> est une constante indépendante de <math>h</math>. | ||
| − | Ceci signifie que même si l’on perturbe légèrement l’équilibre, la solution obtenue reste du même ordre de grandeur. La stabilité d’un schéma discret signifie que sa solution est uniforme en <math> | + | Ceci signifie que même si l’on perturbe légèrement l’équilibre, la solution obtenue reste du même ordre de grandeur. La stabilité d’un schéma discret signifie que sa solution est uniforme en <math>h</math> et qu’elle dépend continument des seconds membres. Une faible variation du second membre entraîne en conséquence une faible variation de la solution. |
===Convergence=== | ===Convergence=== | ||
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| − | <center><math>\left\| {u_h - u(x)}\right\| ≤ K.h^p \quad( | + | <center><math>\left\| {u_h - u(x)}\right\| ≤ K.h^p \quad(5)</math> </center> |
où <math>K</math> est une constante positive indépendante de <math>h</math>. | où <math>K</math> est une constante positive indépendante de <math>h</math>. | ||
| − | Cette condition est obtenue si le schéma <math>L_h.u_h = f_h</math> est stable et si l’erreur d’approximation est d’ordre <math>p</math>. | + | Cette condition est obtenue si le schéma <math>L_h.u_h = f_h</math> est stable et si l’erreur d’approximation est d’ordre <math>p</math>. Elle indique que l'écart entre la valeur exacte <math>u(x)</math> et la valeur numérique approchée au même point <math>u_h</math> est finie. |
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Version du 3 octobre 2022 à 17:15
Traduction anglaise : Stability condition
mot en chantier
Dernière mise à jour : 03/10/2022
Lors de la résolution numérique des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles à conditions initiales par la méthode des différences finies, il est généralement nécessaire, pour assurer la convergence de la méthode, que la valeur du pas de temps $ Δt $ vérifie une condition plus ou moins restrictive, dépendante du (ou des) pas d'espace $ Δx $, $ Δy $.
Sommaire |
Notations
Pour simplifier, la présentation est faite dans le cas d'un problème avec une seule dimension d'espace ($ x $). Les notations utilisées sont les suivantes (voir par exemple Legras, 1963) :
représente le problème de départ, $ L $ étant un opérateur différentiel appliqué à la fonction continue $ u(x) $ ;
représente le problème formulé en différences finies (où $ L_h $ est l’opérateur algébrique équivalent appliqué à la fonction discrète $ u_h $), $ h $ étant le pas d'espace.
Erreur d’approximation
On dit que le schéma algébrique $ L_h.u_h = f_h $ approxime le problème différentiel $ L.u(x) = f(x) $ avec une erreur d’approximation d’ordre $ p $ si :
où $ K $ est une constante indépendante de $ h $.
Stabilité
On dit que le schéma algébrique $ L_h.u_h = f_h $ est stable si le problème :
admet une solution $ z_h $ unique telle que :
où $ K $ est une constante indépendante de $ h $.
Ceci signifie que même si l’on perturbe légèrement l’équilibre, la solution obtenue reste du même ordre de grandeur. La stabilité d’un schéma discret signifie que sa solution est uniforme en $ h $ et qu’elle dépend continument des seconds membres. Une faible variation du second membre entraîne en conséquence une faible variation de la solution.
Convergence
On dit que la solution $ (u_h) $ du problème discret $ L_h.u_h = f_h $ converge vers la solution $ u(x) $ du problème initial $ L.u(x) = f(x) $, avec un ordre $ p $ si :
où $ K $ est une constante positive indépendante de $ h $.
Cette condition est obtenue si le schéma $ L_h.u_h = f_h $ est stable et si l’erreur d’approximation est d’ordre $ p $. Elle indique que l'écart entre la valeur exacte $ u(x) $ et la valeur numérique approchée au même point $ u_h $ est finie.
Bibliographie :
- Legras, J. (1963) : Précis d'analyse numérique ; Ed. Dunod, Paris.
Voir aussi Courant-Friedrisch-Levy (condition de).
