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Différences finies (méthode des) (HU)

De Wikibardig
Version du 18 novembre 2022 à 16:00 par Bernard Chocat (discuter | contributions)

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Traduction anglaise : Finite differences method

Dernière mise à jour : 18/11/2022

Méthode numérique de résolution des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles.

Principe de la méthode

Cette méthode consiste à remplacer les opérateurs différentiels par des opérateurs algébriques qui constituent des approximations numériques de leurs valeurs en un point. A titre d'exemple, l'opérateur différentiel : $ dy / dx $, peut être remplacé par la quantité : $ Δy / Δx $$ Δx $ possède une longueur finie (Discrétisation du domaine). Géométriquement, dans le cas d'une différence centrée à deux pas, cette transformation particulière revient à remplacer la pente de la droite tangente au graphe de la fonction $ y = f(x) $, au point $ x $, par la pente de la droite joignant les points $ [x-Δx $, $ f(x-Δx)] $, $ [x+Δx $, $ f(x)+Δx] $ (figure 1).


Figure 1 : Représentation graphique de l’opérateur algébrique équivalent à l’opérateur dérivée première : exemple d’un schéma centré à deux pas.

Au lieu de chercher la solution sous la forme d'une fonction continue, $ y = f(x) $, on se contente de rechercher une table de valeurs numériques $ y_i $, approchant les valeurs exactes de la fonction $ f(x) $ sur un réseau prédéfini de nœuds de calcul $ x_i $. L'approximation est bien sur d'autant meilleure que le pas de calcul $ Δx $ est petit.

Application en hydrologie

Cette méthode possède de nombreuses applications en hydrologie urbaine. Citons en particulier la résolution numérique des équations de Barré de Saint Venant, la méthode Muskingum, l'intégration de la ligne d'eau, etc. Elle donne généralement de bons résultats mais impose des contraintes sur le choix du pas de temps et du (ou des) pas d'espace pour assurer la stabilité des résultats (voir Convergence et stabilité des schémas numériques (condition de) (HU)).

Pour en savoir plus :

Outils personnels