Voir la source de Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/CALLOCH - DECHAVASSINE - DIANOUX

Pour retourner à la page énoncé du sujet : [[Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022]]
== Cadre de l'étude ==

On cherche à modéliser une houle dans quatre cas différents. Pour cela, on utilise le modèle de Berkhoff, dont l'équation est :<math>\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0</math><br />
où <math> \phi </math> est le potentiel, <math>k</math> est le nombre d’onde, <math>C</math> est la célérité de l’onde et <math>C_g</math> est la célérité de groupe des vagues.<br />
On se place dans le domaine des ondes longues, ce qui entraîne que <math>C = C_g = \sqrt{gH}</math>, avec g l'accélération de la pesanteur et H la profondeur du canal. L'équation de Berkhoff devient ainsi : <br />
:::<math>\nabla^2 \phi + k^2\phi = 0</math>. <br />
L'évolution de la hauteur de la houle en fonction du temps est donnée par : <math>h(x,t)=\Re \left (\phi e^{-i\omega t} \right )</math><br />

Nous allons résoudre cette équation en utilisant la méthode d''''homotopie''', plus précisément la méthode HAM "Homotopie Perturbation Method". Le principe est de pouvoir passer, par une transformation continue, d'un milieu complexe dont il est difficile de connaitre le comportement à un milieu plus simple. <br />
Elle consiste à résoudre l'équation <math>(1-p)L(\phi-\psi)+pH(p)({d^2 \phi \over {dx^2}} + k^2 \phi)=0</math>, avec L un opérateur linéaire (ici on prendra la dérivée seconde par rapport à x) et <math>\psi</math> la solution initiale. p est un paramètre qui varie entre 0 et 1, il représente la progression de la solution initiale (<math> p = 0</math>) à la solution finale (<math>p = 1</math>). La méthode HAM implique que <math>H(p) = 1</math>

== Cas n°1 : Canal plat ouvert ==

On considère un canal à fond plat, ouvert aux deux extrémités, de longueur L et de profondeur H. On adopte la notation <math> \phi_x </math> pour la dérivée de <math>\phi</math> par rapport à x et <math>\phi^x</math> pour la valeur de <math>\phi</math> en x.<br />
En aval, il entre une onde de fréquence unitaire <math>\phi=1</math> (condition de Dirichlet) et sortie libre amont <math>\phi_x=ik\phi</math> (condition de Robin).<br />
[[File:Diagramme canal cas 1.png|400px]]

=== Résolution analytique ===
Soit à résoudre : <math>\phi_{xx} + k^2\phi = 0</math><br />
La solution est donc de la forme : <math>\phi = Ae^{-ikx} + B e^{ikx}</math><br />
Les conditions aux limites de notre problème sont : <math>\phi^0 = 1</math> et <math> \phi_x^L = \phi^L </math><br />
Donc <math>B = 1 </math> et <math> A = 0 </math><br />
Ainsi, <math>\phi = e^{ikx} </math>. L'enjeu est maintenant de retrouver cette solution en utilisant la méthode d'homotopie.



=== Résolution homotopique ===
: Avec une solution initiale nulle, la relation d'homotopie devient :<br />
<math>(1-p)\phi_xx + k^2\phi = 0 </math><br />
On décompose <math>\phi</math> en somme de fonctions : <math>\phi = \sum_{i=0}^{+\infty} p^i\phi_i</math>
Cette relation est vrai quel que soit p, donc on peut établir que les coefficients de chaque puissance de p sont nuls aussi. On décompose par ordre, c'est-à-dire par puissance de p.

* '''Ordre 0'''

<math>\phi_{0,xx} = 0</math> d'où <math>\phi_0 = Ax+B</math><br />
On sait que :<br />
<math>\phi_0(x = 0) = 1</math> donc <math>B = 1 </math><br />
et <math>\phi_{0,x}(x = L) = ik\phi_0(x =L)</math> donc <math>A = ik(AL + 1)</math> donc <math>A = {ik \over{1-ikL}}</math> <br />
Ainsi, <math>\phi_0(x) = {ik\over{1-ikL}} x + 1</math> <br/>

*'''Ordre 1'''
<math> \phi_{1,xx} + k^2\phi_0 = 0 \iff \phi_1 = -k^2\iint \phi_0 dx^2 + Ax + B</math> <br />
Nos conditions aux limites sont toujours : <math>\phi_0^1=0 \ et \ \phi^L_{1,x}=ik\phi^L_1 </math>. Il vient : <math> \phi_1= −k^2L{(k^2L^2+3ikL−3) \over {3(1−ikL)^2}}x−k^2({ik\over{6(1−ikL)}}x^3+ \dfrac {1} {2}x^2) </math>

*'''Ordre n'''
On a : <math>\forall n, \phi_{n,xx} + k^2\phi_{n-1} = 0 </math> <br />
Ainsi, <math>\phi_n = -k^2\iint \phi_{n-1} dx^2 +A_nx +B </math>. (B = 0 ) <br />
Comme <math>\phi_{n,x}^L = ik\phi_{n-1}^L, A_n = {1\over {1-ikL}}(k^2\int\phi_{n-1}dx^2 - ik^3\iint\phi_{n-1}dx^2)</math><br />
Finalement, on obtient : <br />
<math>h(x,t) = \sum p^n\Re(\phi_ne^{-i\omega t})</math><br />


On peut visualiser l'évolution de la solution homotopique selon la valeur de p grâce au logiciel Maxima:<br />
[[File:ezgif.com-gif-maker.gif|400px]] <br />
Sur le graphique ci-dessus, la solution analytique est représentée par les croix rouges. La solution homotopique est représentée par la courbe verte. On illustre ici la variation du paramètre p, de 0 (solution en bleue) à 1 (où elle est la plus proche de la solution analytique). La méthode par homotopie permet bien de retrouver la solution analytique.

== Cas n°2 : Canal plat fermé ==
 

== Cas n°3 : Canal en pente ==

== Cas n°4 : Vague sphérique dans un domaine infini ==