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Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/DESCHAUMES - REBER - RICHARDEAU : Différence entre versions

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(Solution par homotopie)
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Version du 8 juin 2022 à 08:32

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Sommaire

Contexte et enjeux climatiques

D'ici à 2050, l'avancée de la mer pourrait être une menace pour des centaines de milliers de Français. Sous les effets conjugués de l'érosion des côtes et de la montée des océans liées au réchauffement climatique qui fait fondre la glace continentale et entraîne une dilatation thermique des océans, c’est 10 % de la population française pour 4 % du territoire qui vont devoir déménager. Selon les derniers rapports du GIEC, Le groupe d'experts international sur l'évolution du climat, il faut s’attendre en Europe d’ici la fin du siècle, a avoir des augmentations du niveau de la mer de 50cm à 1m.

Sur le long terme, plusieurs mégalopoles sont vouées à disparaître telle que Miami, Jakarta ou Rotterdam. En France, la côte aquitaine est elle aussi menacée. Si rien est fait, le bassin d’Arcachon, l’île de Ré ou l’île d’Oléron pourraient être submergées. Et d’ici 2050 ce phénomène pourrait être encore plus répandu. Durant l’automne dernier, la communauté internationale s'est donnée rendez-vous à Glasgow pour accélérer les efforts contre le changement climatique lors de la COP 26.

Notre contribution en tant que chercheur dans cette catastrophe mondiale, pourrait être de fournir des modèles réalistes de l’effet de cette montée des eaux sur le littorale. Ces modèles serviront de preuves convaincantes afin de faire prendre prendre conscience aux élus régionaux des risques de la montée des eaux qui nous menacent. Mais au delà des élus, cette modélisation pourrait aussi servir d’argument pour convaincre les administrés, les citoyens de quitter leur maison quand elle est trop près de la mer et qu’elle est en danger.

La houle et ses phénomènes ondulatoires - interaction avec la topographie

Notre étude a pour but la modélisation de la forme de la houle au niveau des côtes. À son arrivée près du littoral, le mouvement et la forme de la houle sont influencés par la bathymétrie locale. Ces milieux inhomogènes lentement variables laissent apparaître de nombreux phénomènes caractéristiques en modèle ondulatoire : Le shoaling, la réfraction, la diffraction, la réflexion et le déferlement.

Le shoaling : La houle est une onde de période donnée, et dont la longueur d’onde dépend de la profondeur d’eau. On observe une diminution de la longueur d’onde lorsque la profondeur d’eau diminue, et inversement. De même on observe une augmentation de la hauteur des vagues plus la profondeur est faible. En effet, dans les domaines ou la profondeur en eau est plus faible, le flux d’énergie de la houle devant rester constant, et la réduction de la vitesse de groupe s’opérant, la densité en énergie est plus importante, ce qui se compense par une plus grande hauteur des vagues.

Phénomène de Shoaling de la houle


La refraction : Ce phénomène a lieu dans les zones ou la profondeur est suffisamment pour que la profondeur ait une influence sur la vitesse de la houle. Comme avec le shoaling, la vitesse diminue quand la profondeur diminue. Les fronts d’onde qui arrivent avec un angles non nul par rapport à la côte, changent d’orientation pour se rapprocher des isobathes et arriver avec une tangente à la plage parallèle en tout point de l’onde. On observe dans les baies une augmentation la longueur d’onde, se qui se traduit par une répartition de l’énergie dans l’espace ; alors qu’au niveau d’un cap, le ralentissement de la houle entraîne un rapprochement des crêtes d’onde.

Phénomène de réfraction de la houle
modèle réaliste de la réfraction de la houle
O.Thual : http://thual.perso.enseeiht.fr/xsee/ch8/allpdf/00main.pdf



La diffraction :La diffraction est observable lorsqu’un train d’ondes rencontre un obstacle près de la côte tel qu’une digue, un quai, un épi… Cette rencontre affaiblit la houle en sa partie, ce qui fait diminuer localement son amplitude. Cette différence d’amplitude le long d’une ligne de crête entraîne un transfert d’énergie transversal dans le sens décroissant du gradient d’amplitude. Ce transfert tend à uniformiser l’amplitude sur toute la ligne de crête. Ce transfert d‘énergie permet donc d’expliquer comment les vagues contournent des obstacles et pourquoi il y a de l’agitation derrière.

transfert d’énergie transversal
diffraction + réffraction de la houle derrière un obstacle


La réflexion :La réflexion en physique est le brusque changement de direction d'une onde à l'interface de deux milieux. Après réflexion l'onde reste dans son milieu de propagation initial. Des ondes mécaniques comme les vagues peuvent subir ce type de phénomène. Ce phénomène suit deux lois:

  • Il y a égalité entre angle d'incidence et angle de réflexion.
  • L'onde réfléchie se propage dans le même milieu que l'onde incidente.


Le déferlement :Le déferlement des vagues est la déformation rapide du profil de l'onde, associé à la production de turbulence. L'onde qui déferle perd ainsi son énergie.Dans les deux cas, outre la production d'énergie turbulente, le déferlement aboutit aussi à un transfert de quantité de mouvement : c'est le déferlement des vagues qui est la cause principale de l'accélération des courants de surface que l'on associe au vent.

  • Dans le cas des vagues de longueur d'onde supérieure à un mètre, ce déferlement est généralement associé à une instabilité hydrodynamique de la crête de la vague, qui conduit à l'entrainement d'air sous la surface et la formation d'écume.
  • Pour les vagues les plus courtes, leur énergie est insuffisante pour former des bulles d'air, et le déferlement se manifeste par un bourrelet turbulent.

Le principe du déferlement des vagues est très simple : la vitesse de propagation d'une vague diminue en même temps que la profondeur de l'eau. En arrivant sur un rivage incliné, les nouvelles vagues rattrapent donc les anciennes, moins rapides, et leur font prendre de l'ampleur jusqu'à créer un état instable, qui se résout alors par le déferlement.

Principe de calcul

Méthode de Berkhoff


L’équation de Berkhoff est une équation aux dérivées partielles permettant de représenter les effets de réfraction, diffraction et de réflexion auxquels les vagues sont sujettes.
Cette équation est utilisable si on se trouve en situation de houle à faible amplitude et sous l'hypothèse de mild-slope (pente faible du fond marin).
Lorsque qu'on se place en modèle bi-dimensionnel l'équation a pour forme: $ \displaystyle\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 $

Avec:

  • $ \phi $ est le potentiel,
  • K est le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence ω, par la relation implicite $ \omega^2=gk \tanh(kH) $ ,
  • C est la célérité de l’onde,
  • C_g est la célérité de groupe des vagues

Ce modèle nous permet de modéliser les changements de hauteur des vagues près des côtes.
Pour résoudre cette équation nous utilisons l'homotopie.

homotopie


L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de déformation continue d'un objet à un autre. Cette méthode permet lorsqu'on est face à un problème complexe, de résoudre un problème plus simple et de passer d'une solution à une autre grâce à un paramètre p compris entre 0 et 1.

Hypothèses


L'utilisation de la méthode de Berkhoff engendre des simplifications car nous sommes en modèle linéaire:
Puisque nous sommes dans le domaine des ondes longues on peut écrire : $ C=C_g=\sqrt{gH} $
De plus, l'évolution dans le temps de la hauteur de houle est donnée par : $ h(x,t)=\Re \left (\phi e^{-i\omega t} \right ) $

Cas n°1 : Canal monodimensionnel plat avec une sortie libre en amont


Pour ce cas nous travaillons sur un canal plat de longueur L.

Les conditions aux limites sont:

  • Condition de Dirichlet : On modélise à l'entrée une onde de fréquence unitaire $ \phi = 1 $
  • Condition de Robin : On modélise la sortie libre par l'amont $ \phi_{x} =ik\phi $

Par soucis de simplification, nous imposons ces deux conditions en x=0. On peut montrer que l'application de ces 2 conditions en x=0 et x=L correspond à une situation équivalente.

Dans cette situation l'équation de Berkhoff peut se simplifier et s'écrire en domaine unidimensionnel:

$ \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} \label{eq:1} $

Solution analytique


En symétrie plane l’amplitude complexe $ Φ^{*} $ ne dépend que de x
Les solutions complexes sont cherchées sous la forme
$ Φ^{*}(x)=A^{*}e^{γx} $
ce qui implique
$ γ^{2}+k^{2}=0\Longrightarrow γ=±ik $, soit deux solutions $ A^{*}e^{-ikx} $ et $ B^{*}e^{+ikx} $

On peut déterminer les amplitudes complexes grâce aux conditions limites:

  • En amont: $ Φ^{*}(x=0)=A^{*}+B^{*}=1 $
  • En aval: $ \dfrac{\partial ϕ^{*}}{\partial x}=-ikA^{*}e^{-ikx} + ikB^{*}e^{ikx} \Longleftrightarrow ik(-A^{*}e^{-ikx} + B^{*}e^{ikx}) $ or $ \dfrac{\partial ϕ^{*}}{\partial x}=ikΦ = ik(=+A^{*}e^{-ikx} + B^{*}e^{ikx}) $ (conditions aux limites)


ainsi $ \boxed{-A^{*}=A^{*}=0} $

La solution réelle $ Φ(x,t) $ associée à $ Φ^{*}(x)=B^{*}e^{kx} $ est $ Φ(x,t)=Re(Φ^{*}e^{-iωt})= Re(B^{*}e^{ikx}e^{-iωt})=|B^{*}|cos(kx-ωt+φ)=Bcos(kx-ωt+φ) $ avec $ \boxed{B=1} $


On a donc :

$ \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=\cos(kx-wt)} $
Gifanim4.gif

Solution par homotopie


Pour obtenir la relation d'homotopie on utilise la dérivée seconde comme opérateur linéaire ainsi qu'une solution initiale nulle:

$ (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 $


On utilise la décomposition en série entière de $ \phi(x,p) $ et de $ \phi_{xx}(x,p) $

  • $ \phi(x,p =\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+... $
  • $ \phi_{xx}(x,p) =\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+... $

Ce qui donne:

$ \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + \cdots = -k^2(p\phi_0(x) + p^2\phi_1(x) + p^3\phi_2(x) + p^4\phi_3(x) + \cdots) $


La résolution de cette équation est alors celle du système linéaire suivant, par liberté de la famille $ (1,p,p^2,p^3,\cdots) $ : $ \left\{ \begin{eqnarray} \phi_{0,xx}(x) & = & 0 &&&(1.1)\\ \phi_{1,xx}(x) & = & -k^2 \phi_0(x) &&&(1.2)\\ \phi_{2,xx}(x) & = & -k^2 \phi_1(x) &&&(1.3)\\ \phi_{3,xx}(x) & = & -k^2 \phi_2(x) &&&(1.4)\\ &.& \\ &.& \\ &.& \\ \end{eqnarray} \right. $


ordre 0

On a la relation d'homotopie suivante: $ \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow \phi_{0} = Ax+B $

On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

  • $ \phi_{0}(x=0)=1 \Longleftrightarrow B=1 $
  • $ \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{0}(x=L) \Longleftrightarrow A=ik(AL+B) \Longleftrightarrow A=\frac{ik}{1-ikL} $

On a donc finalement:

$ \boxed{\displaystyle\phi_{0} =\frac{ik}{1-ikL}x+1} $

Ordre 1

On a la relation d'homotopie suivante :

        $ \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} = k^2\phi_{0}= 0 $ 
$ \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2\iint\phi_{0}\mathrm{d}x\mathrm{d}x + A'x + B' $
$ \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2}) + A'x + B' $

On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :


En amont: x=0:

$ \begin{align} & \phi_{1}(x=0)=0 \Longleftrightarrow B'=0 \\ \end{align} $

En aval: x=L

$ \begin{align} & \frac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{1}(x=L) \\ \iff & -k^2(\frac{ikL^2}{2(1-ikL)}+L) + A' =ik(-k^2(\frac{ikL^3}{6(1-ikL)}+\frac{L^2}{2}) + A'L)\\ \iff & A' = \frac{k^2L}{3(1-ikL)^2}(3 - 3ikL - 3ikL) \\ \end{align} $


On a donc finalement:

$ \boxed{\displaystyle\phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{k^2L}{3(1-ikL)^2}(3 - 3ikL - 3ikL)x} $


Ordre supérieurs:

Afin de trouver $ \phi $ aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.

Pour cela, on utilise les relations suivantes:
- $ k=\frac{1}{100} $ : nombre d'onde en m-1
- $ H=40 $ : profondeur en m
- $ c=\sqrt{gH} $ : célérité de l'onde en m/s
- $ \lambda=\frac{2\pi}{k} $ : longueur d'onde en m
- $ L=2\lambda $ : longueur du domaine en m

Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:


Ezgif.com-gif-maker(12).gif

Étude de sensibilité

Influence de la période des vages:
Gifanim2D-T=15BIso'.gif Gifanim2D-T=3s.gif Gifanim2D-T=1s.gif
%%% Analyse de ce qu'on voit%%%
Influence de la profondeur du fond:
%%% Animations %%%
%%% Analyse de ce qu'on voit%%%

Cas n°2: Domaine monodimensionnel plat


Dans cette deuxième partie, nous sommes également dans le cas d'un canal plat de longueur L . Nous avons cependant des conditions aux limites différentes:

Les conditions aux limites sont:

  • Un flux en aval : $ \phi_{x}(x=0) =ik(2-\phi(x=0)) $
  • Une réflexion totale en amont : $ \phi_{x}(x=L) = 0 $

On peut donc simplifier l'équation de Berkhoff de la même manière que le cas 1: $ \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} $

Solution analytique

On écrit l'équation caractéristique associée a: $ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi = 0 $
On a : $ x^{2} + k^{2} = 0 $
Afin de résoudre cette équation du second degrés on calcul son discriminant: $ \Delta = -4k^{2} < 0 $. Il y a donc 2 racines complexes et :
$ \phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx} $

On peut déterminer les constantes grâce aux conditions limites:

  • $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi(x=0) \Longleftrightarrow -ikA + ikB = ik(2-(A+B)) \Longleftrightarrow B=1 $
  • $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow -ikAe^{-ikL}+ikBe^{ikL} = 0 \Longleftrightarrow A=e^{2ikL} $

D'où :

$ \boxed{\phi(x)=e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} } $

et donc:

$ \boxed{\phi(x,t)=e^{i(k(2L-x)-wt)}+e^{i(kx-wt)}} $

On a donc :

$ \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=cos(k(2L-x)-wt)+cos(kx-wt)} $

Solution par homotopie


On utilise les mêmes outils que pour le cas 1


ordre 0

On a la relation d'homotopie suivante : $ \ phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 $ et donc $ /phi = Ax+B $

On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

  • $ \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A=0 $
  • $ \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi_{0}(x=0) \Longleftrightarrow 0=ik(2-B) \Longleftrightarrow B=2 $

On a donc finalement:

$ \boxed{\displaystyle\phi_{0} = 2 } $

ordre 1

On a la relation d'homologie suivante : $ \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} + k^2\phi_{0}= 0 \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2x^2 + A'x + B' $

On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

  • $ \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A'=2k^2L $
  • $ \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=0)=ik\phi_{1}(x=0) \Longleftrightarrow 2k^2L=ikB' \Longleftrightarrow B' = -2ikL $

On a donc finalement:

$ \boxed{\displaystyle\phi_{1} = -k^2x^2 + 2k^2Lx - 2ikL} $

Ordres supérieurs


Afin de trouver $ \phi $ aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.

Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:

Homotopie cas 2.gif

Cas n°3: Domaine monodimensionnel avec pente


Dans cette troisième partie, nous avons canal monodimensionnel avec un fond de pente constante $ s = 1/200 $. On a également une onde de fréquence unitaire qui entre par l'aval et en amont une sortie libre.


Gifanim2.gif


Les conditions aux limites sont:

  • En aval : $ \phi = 1 $
  • En amont : $ \phi_{x} = ik\phi $

Pour la simplification de l'équation de Berkhoff, le cas est plus compliqué car: $ H(x) $ n'est plus égal à $ Ho $ mais à $ H(x) = Ho - sx $

On repart donc du modèle de Berkhoff : $ \displaystyle ∇.(CCg∇ϕ)+k^2CCgϕ=0 $
On a: $ C=Cg =\sqrt{gH(x)} $,

il vient:
$ \displaystyle ∇.(CCg∇ϕ)+k^2CCgϕ=0 $ On a donc: $ \boxed{\displaystyle H(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + ko^2Ho \phi = 0} $

Solution analytique


La profondeur se traduit par cette équation:  : $ H(x) = Ho - sx $
On prend K, le nombre de d'ondes, non constant  : $ \displaystyle k(x) = ko\sqrt{\frac{Ho}{Ho-sx}} $

On obtient donc l'équation suivante : $ \displaystyle (Ho - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + ko^2Ho \phi = 0 $

Cette équation n'est de type Bessel , nous cherchons donc à mettre l'équation sous la forme : $ \displaystyle z\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \alpha^2 \phi = 0 $

On effectue ensuite un changement de variable: $ z(x) = Ho - sx $,
On obtient donc l'équation : $ \boxed{\displaystyle z(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{ko^2Ho}{s^2} \phi = 0} $

On a donc : $ \displaystyle \alpha^2 = \frac{ko^2Ho}{s^2} $

La solution de cette équation est la suivante: $ \boxed{ \phi(z) = B J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + C Y_0 (2 \alpha \sqrt{z})} $
Avec:

  • $ J_0 $ : fonction de Bessel de 1ère espèce à l’ordre 0
  • $ Y_0 $ : fonction de Bessel de 2ème espèce
  • B et C : des constantes à déterminer grâce aux conditions limites

On peut déterminer les constantes grâce aux conditions limites qui sont:

  • $ \phi(0) = 1 $ donc $ x = 0 $ et $ z = H_{0} $
  • $ \phi_{x}(x=L) = ik\phi(x=L) $

On obtient don les équations suivantes:
$ BJ_{0}(2\alpha \sqrt H_{0}) + CY_{0}(2\alpha \sqrt H_{0}) = 1 $
$ BJ_{1}(2\alpha \sqrt H_{1}) + CY_{1}(2\alpha \sqrt H_{1}) = i(BJ_{0}(2\alpha \sqrt H_{1}) + CY_{0}(2\alpha \sqrt H_{1})) $


On obtient ainsi l'expression des constantes:

$ \left\{ \begin{align} & B = \frac{(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} \\ & C = \frac{- (J_{1}^{2} - iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} \\ \end{align} \right. $


On a donc :
$ \boxed{ \phi(z) =\frac{(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) +\frac{- (J_{1}^{2} - iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} Y_0 (2 \alpha \sqrt{z})} $

Solution par homotopie

Dans ce cas, il y a une pente au niveau de la cote. Il faut donc que la hauteur de la houle ne soit jamais supérieure à la profondeur qui varie.

On part de l'équation: $ H(x) \phi_{xx}(x) + H'(x) \phi_{x}(x) + k^2 H(x) \phi(x) = 0 $

Or, $ H(x) = H_0 - sx $
En posant : $ \epsilon = \frac{s}{H_0} Donc, la relation d'homotopie est:<br> <math> \displaystyle (1 – p)(1 - \epsilon x) \phi_{xx} + p ((1 - \epsilon x) \phi_{xx} - \epsilon \phi_{x} + k_0^2 \phi) = 0 $

A l’aide de la décomposition en série entière de $ \displaystyle \phi $ et de ses dérivées, on obtient :

$ \displaystyle (1 – p)(H_0 - s x) * (\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) + p * ((1 - s x) * (\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) - s * (\phi_{0,x} + p\phi_{1,x}(x) + p^2\phi_{2,x}(x) + p^3\phi_{3,x}(x) + …) + k_0^2 * (\phi_{0} + p\phi_{1}(x) + p^2\phi_{2}(x) + p^3\phi_{3}(x) + …)= 0 $

ordre 0

On a la relation d'homotopie suivante: $ (1 - \epsilon x) \phi_{0,xx} = (1 - \epsilon x) \frac{\partial^{2}\phi_0}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow \phi_{0}(x) = A x + B $
On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

  • En x = 0 : $ \phi_0(0) = 1 \Longrightarrow B = 1 $ et $ \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = ik\phi_0 $ & $ \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = A \Longrightarrow A = ik\phi_0 $
  • En x = L : $ A = ik\phi_0 $et $ B = 1 $ Or : $ \frac{\partial \phi_0}{\partial x}(x = L) = ik(A L + B) $ donc, $ A = \frac{ik}{1-ikL} $

On a donc finalement: $ \displaystyle \phi_{0}(x) = \frac{ik}{1 - ikL}x + 1 $


ordre 1


On a cette fois la relation suivante : $ (1 - \epsilon x) \phi_{1,xx} - (1 - \epsilon x) \phi_{0,xx} + (1 - \epsilon x) \phi_{0,xx} - \epsilon x \phi_{0,x} + k_0^2 H_0 = 0 \Longleftrightarrow (1 - \epsilon x) \phi_{1,xx} - \epsilon x \frac{ik}{1 - ikL} + k_0^2 H_0 = 0 $

Posons $ A = \frac{ik}{1 - \epsilon x} [\epsilon \frac{ik}{1 - ikL} - k_0^2 H_0] $

D'où : $ \phi_{1} = \frac{A}{2} x^2 + Bx + C $

Par les CL, on a :
$ \phi_{1,xx}(0) = 0 \Longleftrightarrow C=0 $

$ \phi_{1,x}(L) = ik[\frac{A}{2} l^2 + BL] \Longleftrightarrow AL + B = ik[\frac{A}{2} L^2 + BL \Longleftrightarrow B = \frac{ikAL^2 - 2AL}{2(1-ikL)} $

D'où : $ \phi_{1} = \frac{ik}{2(1 - \epsilon x)} [\epsilon \frac{ik}{1 - ikL} - k_0^2 H_0] x^2 + \frac{ikAL^2 - 2AL}{2(1-ikL)}x $

Ordres supérieurs


Afin de trouver $ \phi $ aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.

Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:

Homotopie cas 3.gif

Cas n°4: Domaine infini avec une grande profondeur


Dans cette quatrième partie, nous sommes dans le cas d' une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale.
Dans ce cas, nous travaillons à modéliser les variations de la surface libre à nouveau mais dans le périmètre d'un domaine infini et avec un profondeur importante. la source est ponctuelle et autour du cercle de rayon $ r_0 $ et qui a pour centre un second domaine circulaire de rayon $ R $. Ce dernier domaine laisse sortir librement l'onde pour $ r=R $.

Les conditions aux limites sont :

  • $ \phi(r=r_0)=1 $
  • $ \frac{\partial \phi}{\partial r}(r=R)=ik\phi(r=R) $

Il faut désormais simplifier l'équation de Berkhoff afin de pouvoir la résoudre:
Dans ce cas elle se simplifie en équation de Helmholtz et s'exprime en coordonnées polaires avec les conditions suivantes $ \displaystyle\boxed{ \Delta \phi + k^2\phi=0 } $

Puisque nous sommes en coordonnées polaires, la relation précédente s'écrit de manière simplifiée puisque le problème est dans un symétrie de révolution et est donc indépendant de $ \theta $.

Dans cette situation l'équation de Berkhoff peut donc s'écrire:$ \boxed{\displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0} $

Solution analytique

On a donc une équation de Bessel : $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0 $ .
Il y a donc une une forme général de solution qui est  : $ \phi(r)=AJ_0(r)+BY_0(r) $

Nous avons:

  • $ J_0 $ : fonction de Bessel de 1ère espèce
  • $ Y_0 $ : fonction de Bessel de 2ème espèce
  • A et B : constante

On peut déterminer les constantes grâce aux conditions limites:

  • $ AJ_0(r_0)+BY_0(r_0)=1 $
  • $ AJ_0'(R)+BY_0'(R)=ik\ (AJ_0(R)+BY_0(R)) $


On sait également que :

  • $ \displaystyle\frac{\partial r^nJ_n(r)}{\partial r} = r^nJ_{n-1}(r) $
  • $ J_{-1}(r) = -J_1(r) $

En combinant on a donc :

  • $ A = \displaystyle\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)} $
  • $ B = \displaystyle\frac{1 }{Y_0(r_0)} \left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right) $


On a donc: $ \displaystyle\phi(r)=\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}J_0(r)+\frac{1 }{Y_0(r_0)}\left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)Y_0(r) $

Solution par homotopie


Nous avons la relation d'homologie suivante :
$ (1-p)\phi_{rr}+p(\phi_{rr}+\frac{1}{r}.\phi_{r}+k^2\phi)=0 $

Nous utilisons à nouveau la décomposition en séries entières: $ \phi(r,p)=\phi_0(r)+p\phi_1(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+... $
Ainsi que sa seconde dérivée : $ \phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+... $

Ce qui donne: $ (1-p)(\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...)+p[\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...+k^2(\phi_0(r)+p\phi_0(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+...)]=0 $

ordre 0


On a la relation d'homotopie suivante: $ \phi_{rr}(r)=0 \Longleftrightarrow \phi(r)=Ar + B $

On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

  • $ Ar_0 + B = 1 \Longleftrightarrow B = 1 - Ar_0 $
  • $ A = ik(AR + B) \Longleftrightarrow A = ik(AR + 1 - Ar_0) \Longleftrightarrow A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)} $
  • $ B = 1 - \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}r_0 \Longleftrightarrow \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)} $


On a donc finalement: $ \displaystyle \phi_0(r) = \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}r + \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)} $

Ordre 1

On a la relation d'homotopie suivante:

$ \begin{align} & \displaystyle \phi_{1,rr}(r) + \frac{1}{r} \phi_{0,r}(r) + k^2 \phi_0(r) =0 \\ \iff & \displaystyle \phi_{1,r}(r) = - Aln(r) - \frac{Ak^2r^2}{2} - k^2Br + C\\ \iff & \displaystyle\phi_1(r) =- A r(ln(r)-1) - \frac{Ak^2}{6}r^3 - \frac{Bk^2}{2}r^2 + Cr + D = 0 \\ \end{align} $

Avec :
  • $ A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)} $
  • $ B = \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)} $
Posons :
$ \left\{ \begin{align} & u(r) = - Aln(r) - \frac{Ak^2r^2}{2} - k^2Br \\ & v(r) = - A r(ln(r)-1) - \frac{Ak^2}{6}r^3 - \frac{Bk^2}{2}r^2 \\ \end{align} \right. $



D'où : $ \left\{ \begin{align} & \phi_{1,x}(r) = \displaystyle u(r) + C \\ & \phi_1(r) = \displaystyle v(r) + Cr + D = 0 \\ \end{align} \right. $

On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

  • $ \displaystyle \phi_1(r_0) = 0 \Longleftrightarrow \displaystyle v(r_0) + Cr_0 + D = 0 \Longleftrightarrow \displaystyle D = -(Cr_0 + v(r_0)) $
  • $ \displaystyle \phi_{1,r}(R) = ik\phi_1(R) \Longleftrightarrow \displaystyle u(R) + C = ik(v(r) + CR + D) $


$ \Longleftrightarrow $ $ \left\{ \begin{align} & * \displaystyle C = \frac{ik(v(R)-v(r_0)) - u(R)}{1 - ik(r_0 - R)} \\ & * \displaystyle D = \frac{ik(v(R)-v(r_0)) - u(R)}{1 - ik(r_0 - R)}r_0 + v(r_0) \\ \end{align} \right. $


₰==== Ordres supérieurs ====
Afin de trouver $ \phi $ aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.

Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:


1ère cellule de mon tableau 2ème cellule de mon tableau
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