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Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/GRAFTIEAUX - PORTZ - REMY : Différence entre versions

De Wikibardig
(Cas 2)
(Solution par homotopie)
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Finalement, <math> 0 = \phi_{0}(x) = 2 </math>
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Finalement, <math> \phi_{0}(x) = 2 </math>
  
 
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==== Ordre 1 ====

Version du 7 juin 2022 à 23:05

Sommaire

Introduction

Contexte et enjeux climatiques

Le réchauffement climatique a des effets physiques et écologiques directs tels que le recul du trait de côte, les submersions temporaires ou permanentes des terres basses, l’augmentation de l’intensité des évènements climatiques, l’érosion du littoral… En effet, selon le rapport du GIEC, le niveau de la mer pourrait s’élever de plus d’un mètre, voire deux, d’ici la fin du siècle. A titre de comparaison, le niveau de la mer a augmenté de 20 cm entre 1901 et 2018.

Afin de contrer les effets de l’érosion du littoral, 126 communes en France ont été considerées comme prioritaires par le gouvernement : parmi celles-ci, celles qui n’ont pas encore de plan de prévention des risques littoraux devront cartographier l’évolution du trait de côte dans 30 ans et 100 ans, qui permettront de mettre en place de nouvelles règles d’urbanisme comme des interdictions de construire.

Il est donc nécessaire de pouvoir modéliser les phénomènes physiques liés à la montée des eaux pour pouvoir déterminer quelles règles d’aménagement du territoire sont adaptées : c’est ce que permet de faire le modèle de Berkhoff, constitué d’une équation aux dérivées partielles.

Le modèle de Berkhoff et les hypothèses

Le modèle de Berkhoff a été établi en 1976 dans le but de combiner les effets de la réfraction et de la diffraction dans un seul modèle . Les hypothèses de ce modèle sont :

-Houles de faibles amplitudes

-Approximation mild-slope (qui considère que la pente des fonds marins est douce)

L’équation de Berkhoff, aussi appelée équation “mild slope” est la suivante : $ \bigtriangledown.(CC_{g}\nabla\phi) + k^{2}CC_{g}\phi = 0 $

Symbole Signification
$ \phi $ Potentiel
C Célérité de l'onde
$ C_{g} $ Célérité de groupe des vagues
k Nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $

On a $ \omega^{2}=gk tan(kH) $ De plus, dans le domaine des ondes longues, dans lequel nous nous plaçons, on a $ C=C_{g}=\sqrt{gH} $. La hauteur de la houle en fonction du temps peut être modélisée par l'équation $ h(x,t)=\Re(\phi.e^{−i\omega.t}). $

Ainsi, l'équation de Berkhoff devient :

$ \Delta\phi + k^{2}\phi = 0. $

L'homotopie

On cherche à résoudre l'equation de Berkhoff à l'aide de la méthode de l'homotopie. L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Pour ce faire on introduit un paramètre p variant entre 0 et 1. Quand p = 0 on a la solution initiale, et quand p = 1 on a la solution exacte de l'équation. Cette méthode permet de modéliser un milieu complexe par un milieu plus simple qui facilite les calculs.

On va donc chercher à trouver la solution de l'équation : $ (1−p)L(\phi-\omega)+pH(p)(\dfrac{d^{2}\phi}{d^{2}x}+k^{2}\phi)=0 $

Cas 1

On se place dans un canal monodimensionnel plat de longueur L.

- Condition de Dirichlet : À l'aval on a une onde de fréquence unitaire $ \phi = 1 $.

- Condition de Robin : À l'amont l'onde est de fréquence $ \phi_{x} = ik\phi $

On impose ces conditions limites en x = 0 et en x = L, ce qui est équivalent à imposer les deux conditions en x=0.

L'équation de Berkhoff devient alors : $ \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}x}+k^{2}\phi=0 $

Solution analytique

On a donc l'équation $ \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}x}+k^{2}\phi=0 $

L'équation caractéristique associée est donc : $ x^{2}+k^{2}=0 $

$ \Delta=-4k^{2}>0 $

Le déterminant étant négatif, on a deux racines complexes et on obtient donc $ \phi(x)=Ae^{-ikx} + Be^{ikx} $.

Les conditions limites permettent de déterminer les constantes A et B:

  • $ \phi(0) = A + B = 1 $
  • $ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}x}(x=L)=ik\phi $


On obtient ainsi A = 0 et B = 1.

Ainsi on a $ \phi(x)=e^{ikx} $.

Solution homotopique

On reprend l'équation $ (1-p)\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}x} + p(\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi) = 0 $

On remplace dans cette équation :

  • $ \phi(x)=\phi_{0}(x) + p\phi_{1}(x) + p^{2}\phi_{2}(x) + p^{3}\phi_{3}(x) + ... $
  • $ \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = \dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}} + p\dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}} + p^{2}\dfrac{\partial^{2}\phi_{2}(x)}{\partial x^{2}} + ... $

On obtient alors :

$ (1-p)(\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}} + p\dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}} + p^{2}\dfrac{\partial^{2}\phi_{2}(x)}{\partial x^{2}} + ...) + p(\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}} + p\dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}} + p^{2}\dfrac{\partial^{2}\phi_{2}(x)}{\partial x^{2}} + ... + k(\phi_{0}(x) + p\phi_{1}(x) + p^{2}\phi_{2}(x) + p^{3}\phi_{3}(x) + ...)) = 0. $

Ainsi, comme cette équation est valable pour toutes les valeurs de p, on en déduit par identification que les coefficients devant les $ p^{k} $ sont nuls.

Ordre 0

$ \dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}}=0 $ On intègre deux fois et on obtient : $ \phi_{0}(x)= Ax + B $

On trouve A et B en prenant en compte les conditions limites :

  • $ \phi_{0}(x=0) = 1 \Leftrightarrow B=1 $
  • $ \dfrac{\partial^{2}\phi_{0}}{\partial x^{2}}(x=L) = ik\phi_{0}(x=L) \Leftrightarrow A= ik(AL+B) \Leftrightarrow A=\dfrac{ik}{1-ikL} $

Ordre 1

$ \dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}}-\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi_{1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}}= -k^{2}\phi \Leftrightarrow \dfrac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}}=\dfrac{-ik^{3}x}{1-ikL}-k^{2} \Leftrightarrow \phi_{1}=\dfrac{1}{6}\dfrac{ik^{3}}{1-ikL}x^{3}-\dfrac{k^{2}}{2}x^{2}+Ax+B $

Comme $ \phi^{0}_{1}=0 $, on a $ B=0 $

De plus, $ \dfrac{\partial\phi_{1}^{L}}{\partial x}=ik\phi_{1}^{L} $

On obtient donc $ A= \dfrac{-k^{2}L}{3(1-ikL)^{2}}(k^{2}L^{2}+3ikL-3) $

Ainsi $ \phi_{1}=\dfrac{1}{6}\dfrac{ik^{3}}{1-ikL}x^{3}-\dfrac{k^{2}}{2}x^{2}-\dfrac{k^{2}L}{3(1-ikL)^{2}}(k^{2}L^{2}+3ikL-3)x \Leftrightarrow \phi_{1}=\dfrac{-k^{2}L(k^{2}L^{2}+3ikL-3)}{3(1-ikL)^{2}}x-k^{2}(\dfrac{ik}{6(1-ikL)}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}) $

Cas 2

On se place dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec une entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire.

Les conditions aux limites sont :


  • $ \phi_{x}(x=0)=ik(2-\phi(x=0) $ $ (1) $
  • $ \phi(x=L)=0 $ $ (2) $

L'équation de Berkhoff nous donne :

$ \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0 $ $ (E) $

Solution analytique

On a donc : $ \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0 $ $ (E) $

L'équation caractéristique associée à (E) est : $ x^{2}+k^{2}=0 $

$ x_{1}= ik $ et $ x_{2}= -ik $

D'où $ \phi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx} $

On trouve A et B à l'aide des conditions aux limites :

$ (1) $ $ -ikB+ikA=ik(2-(A+B)\Rightarrow A=1 $

$ (2) $ $ -ikBe^{-ikL} + ikAe^{ikL}=0\Rightarrow B=e^{2ikL} $

On obtient donc :

$ \phi(x)= e^{ikx}+e^{ik(2L-x)} $

Solution par homotopie

La relation d’homotopie est : $ \phi_{0xx} + p\phi_{1xx} + pk^{2}(\phi_{0} + p\phi_{1}) = 0 $

Ordre 0

Par identification, on obtient : $ \phi_{0xx}(x) = 0 \Rightarrow \phi_{0}(x) = Ax + B $

Avec les conditions aux limites explicitées plus haut, on détermine les valeurs des deux constantes.

$ A = \phi_{0x}(x = 0) = 0 $

$ 0 = \phi_{0x}(x = 0) = ik(2 - \phi_{0}(x = 0))=ik(2-B) \Rightarrow B = 2 $

Finalement, $ \phi_{0}(x) = 2 $

Ordre 1

De même on a par identification : $ \phi_{1xx} = -k^{2}\phi_{0} $

Par double intégration on en déduit $ \phi_{1} = -k^{2}x^{2} + Ax + B $

Avec les conditions aux limites on trouve :

$ A = 2k^{2}L $ et $ B = \dfrac{A}{ik} = -2ikL $

Finalement, $ \phi_{1}(x) = -k^{2}x^{2} + 2k^{2}Lx - 2ikL $

Cas 3

Pour ce cas, nous étudions un canal monodimensionnel avec une pente de fond constante égale à $ s $.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

- Entrée à l’aval d’une onde de fréquence unitaire : $ \phi(x=0) = 1 $

- Sortie libre à l’amont : $ \phi_{x}(x=L) = ik\phi $

Avec la pente, la hauteur H est désormais variable et vaut : $ H = H_{0} - sx $

$ H_{0} $ représente la hauteur à l’origine et $ s $ est la pente.

L’équation de Berkhoff s’écrit : $ \nabla(CC_{g}\nabla\phi + k^{2}CC_{g}\phi = 0 $

Ce qui nous donne : $ H\frac{d^{2}\phi}{dx^{2}} + \frac{d\phi}{dx}\frac{dH}{dx} + k^{2}H\phi = 0 (1) $


Solution analytique

On effectue un changement de variable. On pose : $ z(x) = H_{0} - sx $

L’équation $ (1) $ est donc équivalente à :

$ z\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} - s\dfrac{\partial\phi}{\partial x} + H_{0}k_{0}^{2}\phi = 0 $

$ \Leftrightarrow z\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial\phi}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x}) - s\dfrac{\partial\phi}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x} + H_{0}k_{0}^{2}\phi = 0 $

d’après le théorème de Schwartz

$ \Leftrightarrow -sz\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial\phi}{\partial z}) + s^{2}\dfrac{\partial\phi}{\partial z} + H_{0}k_{0}^{2}\phi = 0 (2) $

Il reste une étape pour obtenir la fonction de Bessel de la forme :

$ z\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} + \dfrac{\partial\phi}{\partial z} + \alpha^{2}\phi = 0 $

Or : $ \dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial\phi}{\partial z}) = \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z}(\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial\phi}{\partial z}) = - s\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} $

Donc l’équation $ (2) $ est équivalente à :

$ z\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} + \dfrac{\partial\phi}{\partial z} + \dfrac{H_{0}k_{0}^{2}}{s^{2}}\phi = 0 $

On pose : $ \alpha^{2} = \dfrac{H_{0}k_{0}^{2}}{s^{2}} $

On obtient donc une équation de Bessel qui a pour solution : $ \phi(z)(x) = AJ_{0}(2\alpha\sqrt{z(x)}) + BY_{0}(2\alpha\sqrt{z(x)}) $

Avec :

- $ A $ et $ B $ qui sont des constantes réelles à déterminer à l’aide des conditions aux limites

- $ J_{0} $ une fonction de Bessel de première espèce à l’ordre 0

- $ Y_{0} $ une fonction de Bessel de deuxième espèce

On a $ z(x = 0) = H_{0} $ et on pose $ H_{1} = z(x = L) = H_{0} - sL $

En utilisant les conditions aux limites $ \phi_{0} = 1 $ et $ \phi_{x}(x = L) = ik\phi(x=L) $, on obtient les deux équations suivantes :

$ AJ_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}}) + BY_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}}) = 1 $

$ AJ_{1}(2\alpha\sqrt{H_{1}}) + BY_{1}(2\alpha\sqrt{H_{1}}) = i(AJ_{0}(2\alpha\sqrt{H_{1}}) + BY_{0}(2\alpha\sqrt{H_{1}})) $

En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, et en simplifiant la notation on en déduit les valeurs des deux constantes.

$ A = \dfrac{Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} $

$ B = \dfrac{-(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} $

La solution finale s’écrit donc :

$ \phi(z) = \dfrac{Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}J_{0}(2\alpha\sqrt{z}) + \dfrac{-(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}Y_{0}(2\alpha\sqrt{z}) $

Solution par homotopie

L’équation initiale est la suivante : $ H(x)\phi_{xx}(x) + H'(x)\phi_{x}(x) + k^{2}H(x)\phi(x) = 0 $

On note $ \varepsilon = \dfrac{s}{H_{0}} $

L’équation ci-dessus en homotopie nous donne $ (1-p)(1-\varepsilon x)\phi_{xx} + p[(1- \varepsilon x)\phi_{xx} - \varepsilon \phi_{x} + k_{0}^{2}\phi] = 0 $

On ne se préoccupe que des ordres 0 et 1, donc :

$ (1-p)(1-\varepsilon x)(\phi_{0xx} + p\phi_{1xx}) + p[(1-\varepsilon x)(\phi_{0xx} +p\phi_{1xx}) - \varepsilon (\phi_{0x} + p\phi_{1x}) + k_{0}^{2}(\phi_{0} + p\phi_{1})] = 0 $

Par identification on obtient les solutions pour les différents ordres.

Ordre 0

On s’intéresse au coefficient d’ordre 0.

$ \phi_{0xx}(1 - \varepsilon x) = 0 \Rightarrow \phi_{0xx} = 0 \Rightarrow \phi_{0}(x) = Ax + B $

Avec les conditions aux limites $ \phi_{0} = 1 $ et $ \phi_{x}(x = L) = ik\phi(x=L) $, on en déduit :

$ B = 1 $

$ A = ik(AL +1) \Leftrightarrow A = \dfrac{ik}{1-ikL} $

D’où la solution $ \phi_{0}(x) = \dfrac{ik}{1-ikL}x + 1 $

Cas 4

Solution analytique

$ \phi(r=r_{0})=\dfrac{d\phi(r=R)}{dx}=ik\phi(r=R) $

L'équation de Berkhoff se simplifie en équation de Helmholz : $ \Delta\phi+k^{2}\phi=0 $

En utilisant les coordonnées polaires, ça donne : $ \dfrac{d^{2}\phi}{d^{r}}+\dfrac{d\phi}{dr}+k^{2}\phi=0 $ (1)

Solution analytique :

On met (1) sous forme d'équation de Bessel :

Donc $ \phi(r)= AJ_{0}(r)+BY_{0}(r) $ avec $ A,B \in \mathbb{R}, J_{0} $ fonction de Bessel de premières espèce et $ Y_{0} $ fonction de Bessel de 2e espèce.

On a les conditions aux limites suivantes :

- $ AJ_{0}(r_{0})+BY_{0}(r_{0})=1 $

- $ AJ'_{0}(R)+BY'_{0}(R)= ik(AJ_{0}(R)+BY_{0}(R) $


-$ \dfrac{dr^{n}J_{n}(r)}{dr}=r^{n}J_{n-1}(r) $

-$ J_{-1}(n)=-J_{1}(n) $

$ \Rightarrow $ $ A=\dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)} {Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)} $

$ B=\dfrac{1}{Y_{0}(r_{0})}(1-J_{0}(r_{0})\dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)}{Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)} $

D'où $ \phi(r)= \dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)} {Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)}J_{0}(r) + \dfrac{1}{Y_{0}(r_{0})}(1-J_{0}(r_{0})\dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)}{Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)}Y_{0}(r) $

Solution homotopique

On a l'equation :

$ (1-p)\phi_{rr}+p\phi_{rr}+\dfrac{1}{r}\phi(r)+k^{2}\phi=0 $


Ordre 0

Comme dans les cas précédents, en décomposant en séries entières, on obtient :

$ (1-p)(\phi_{0,rr}+p\phi_{1,rr})+p(\phi_{0,rr}+p\phi_{1,rr}+k^{2}(\phi_{0}+p\phi_{1})) \phi_{rr}(r)=0 \Leftrightarrow \phi(r)= Ar + B $

D'après les conditions limite, on a :

$ Ar_{0}+B=1 $

$ A=ik(Ar+B) $

Ceci nous permet de déterminer les constantes A et B. On a donc :

$ B= 1-Ar_{0} (1) $

$ A= ik(AR+1-Ar_{0}) (2) $

$ (2)\Rightarrow A(1-ik(R-r_{0}))=ik \Rightarrow A=\dfrac{ik}{(1-ik(R-r_{0})} $

$ (1)\Rightarrow B(1-\dfrac{r_{0}ik}{1-ik(R-r_{0})} = \dfrac{1-ikR}{1-ik(R-r_{0})} $

D'où

$ \phi_{0}(r)=\dfrac{ik}{(1-ik(R-r_{0})}r + \dfrac{1-ikR}{1-ik(R-r_{0})} $

Ordre 1

On obtient cette équation d'homotopie :

$ \phi_{1,rr}+\dfrac{1}{r}\phi_{0,r}+k^{2}\phi_{0}=0 $

$ \Leftrightarrow\phi_{1,r}+Aln(r)+k^{2}(A\dfrac{r^{2}}{2}+Br)+C=0 $

$ \Leftrightarrow\phi_{1}+A(rln(r)-r)+k^{2}(A\dfrac{r^{3}}{6}+B\dfrac{r^{2}}{2})+Cr+D=0 $

On garde A et B les mêmes constantes qu'à l'ordre 0.

En utilisant les conditions aux limites on trouve C et D:

$ C=\dfrac{ik(E-F)-F}{1-ik(R-r_{0})} $

$ D=\dfrac{F-ik(E-G)}{1-ik(R-r_{0})}r_{0}-G $

$ E=(Rln(R)-R)A+\dfrac{Ak^{2}}{2}+B\dfrac{k^{2}}{2}R^{2} F=Aln(R)+\dfrac{Ak^{2}R}{2}+\dfrac{Bk^{2}}{2} G=(r_{0}ln(r_{0})-r_{0})A+\dfrac{Ak^{3}}{6}r_{0}^{3}+B\dfrac{k^{2}}{2}R^{2}r_{0}^{2} $

D'où :

$ \phi_{1}(r)+A(rln(r)-r)+k^{2}(A\dfrac{r^{3}}{6}+B\dfrac{r^{2}}{2})+\dfrac{ik(E-F)-F}{1-ik(R-r_{0})}r+\dfrac{F-ik(E-G)}{1-ik(R-r_{0})}r_{0}-G=0 $

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