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Période de retour (HU)

De Wikibardig
Version du 17 janvier 2022 à 11:54 par Bernard Chocat (discuter | contributions)

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Traduction anglaise : Return period, Recurrence interval

Dernière mise à jour : 24/11/2021

En hydrologie, on utilise ce terme pour désigner l'intervalle de temps moyen séparant deux occurrences d'un événement caractérisé par le dépassement d'une valeur particulière pour une variable aléatoire unique ; on parle également de période de récurrence

Sommaire

Importance de la notion de période de retour

La période de retour est l'inverse de la fréquence de dépassement d’une valeur particulière de la variable étudiée. Elle est donc égale au nombre moyen d'événements, identifiés par une caractéristique particulière, dépassant une valeur particulière de la variable choisie et susceptibles de se produire pendant une période donnée.

On peut par exemple parler de la période de retour d'un débit maximum donné en un point particulier. Dire que cette valeur particulière de débit a une période de retour de 10 ans signifie que, toutes choses égales par ailleurs, on observera en moyenne 10 crues par siècle dont le débit maximum dépassera la valeur spécifiée.

La notion de période de retour constitue donc un moyen pratique d'associer une probabilité à un aléa particulier.

La notion de période de retour dans le cadre de la théorie des probabilités

Concepts de base

Soit $ X $ une variable aléatoire pouvant prendre, suivant un processus temporel (ou chronologique) d’apparition, une valeur $ x $ sur son domaine de variation {$ xm ; xM $}. Soit $ Dx $ la probabilité de dépassement d’une valeur $ x $ particulière, probabilité résultant, théoriquement, de la « fonction de distribution » des probabilités de $ X $.

La période de retour $ T $ de la variable $ X $ répond à :


$ Prob [X ≥ x] = Dx \quad et \quad T = \frac{1}{Dx} \quad(1) $


$ T $ est la durée « moyenne » séparant deux réalisations successives de $ X ≥ x $ dans le processus aléatoire d’apparition dans le temps de la variable $ X $. Elle s’exprime, ainsi, en unités de temps correspondant à la distance temporelle moyenne entre deux apparitions de la variable $ X $ au cours du processus temporel.

Pour illustrer le propos, imaginons une durée d’observation de $ N $ années au cours desquelles on a observé $ n $ réalisations telles que $ X ≥ x $ ($ n $ pouvant être $ >\;ou\; <\;à\;N $), on obtiendrait $ T $, par exemple en années, unité usuelle de comptabilité du temps, en multipliant $ 1/Dx $ par $ N/n $.

Périodes de retour théorique et empirique

Si le « jeu » de probabilité à l’origine de la variable $ X $ est connu (fonction densité de probabilité $ f(x) $ et processus d’apparition temporel) alors la période de retour peut se déduire théoriquement de l’équation 1 ci-dessus.

Pour les variables « naturelles » supposées aléatoires, comme de nombreuses variables hydrologiques (pluies, débits, neige, vent etc.), le jeu de probabilité supposé à l’origine de ces variables est quasiment inconnu. Le caractère aléatoire masque en fait notre incapacité plus ou moins totale à inscrire l’apparition de ces variables dans des processus déterministes (de causes à effet). Le traitement probabiliste de ces variables ne peut donc se faire que par l’évaluation de leurs probabilités d’occurrence, ou de leurs périodes de retour, et relève de l’estimation statistique qui doit satisfaire à la théorie de l’inférence statistique, c’est-à-dire à la théorie de l’échantillonnage. Cette théorie comporte un certain nombre de règles de base auxquelles doit satisfaire la prise d’échantillons, notamment, par exemple :

  • la stationnarité (invariance) du (ou des) processus de génération des variables : Pas de changement climatique durant l’échantillonnage, pas de modifications de l’occupation des sols (urbanisation, déforestations, etc.), etc.) ;
  • la stationnarité du mode de prise d’échantillons et du mode de mesure des variables : Pas de changement des sites et des dispositifs de mesure durant l’échantillonnage ;
  • l’indépendance stochastique de deux valeurs successives de la série chronologique d’observation : Cette condition n’est pas toujours respectée ; par exemple les hauteurs de pluies successives sur une durée $ dt $ courte ( de l'ordre de 12 à 24 h) ne sont pas indépendantes (phénomène de « persistance »)).

L’approche empirique conduit alors à une estimation de la période de retour $ T $ soit :


$ T_{es} = T_v + ε(T)\quad (2) $


dans laquelle $ T_{es} $ est la valeur estimée à partir de l’échantillonnage, $ T_v $ la vraie valeur de $ T $ et $ ε(T) $ un résidu aléatoire dont la distribution est généralement inconnue dans la mesure où la distribution de la variable $ X $ est également inconnue.

L’estimation de l’équation 2 tend vers la vraie valeur $ T $ lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini (loi des grands nombres).

La durée des séries d’observation des variables hydrologiques étant nécessairement limitée (rarement supérieure à la centaine d’années en général), l’estimation de la période de retour d’une valeur particulière de ces variables sera, en général, d’autant moins précise que cette valeur sera plus rarement atteinte ou dépassée dans la série des observations. Ceci est d’autant plus vrai qu’il n’est pas toujours facile de s’assurer de la stationnarité du mode d’échantillonnage sur des durées longues au cours desquelles les appareils, les modes opératoires, les sites de mesure, ont pu connaître diverses modifications (station de jaugeage d’un cours d’eau modifiée par des crues successives, environnement d’un pluviomètre modifié par des constructions ou la poussée de la végétation, modification des appareils de mesure ou des méthodes de jaugeage, etc.).

L’évaluation empirique de la période de retour d’une variable hydrologique supposée aléatoire repose sur le dénombrement à partir des séries chronologiques observées de cette variable : hauteur de pluie sur une durée donnée, intensité maximale moyenne sur une durée donnée, débit de pointe d’un hydrogramme de crue, volume de crue sur une durée donnée. Les exemples ci-dessous sont proposés pour rappeler un point important, source de confusion possible dans le traitement des données hydrologiques. On notera, en effet, que la notion de période de retour suppose une relation d’ordre (≥ à) (équation 1) et donc une variable unique dûment identifiée. Elle ne peut s’appliquer simplement, par exemple, à un processus stochastique temporel comme celui rencontré dans l’analyse des hauteurs de pluie successives sur une durée $ dt $ donnée. « La pluie ou la crue de période de retour $ T $ » n’ont donc pas de sens entendu comme la réalisation d’un processus $ i(t) $ ou $ h(t) $ (intensité ou hauteur de pluie variant en fonction du temps au sein d’un « événement » ou « épisode » pluvieux ou débitmétrique). Elle n’a de sens, au regard de l’équation 1, qu’au travers d’une variable identifiée, indépendante du temps et correspondant par exemple à la hauteur maximale de pluie sur une durée $ ∆t $ au sein d’un événement, ou au débit maximal d’une crue, etc..

Supposons une variable hydrologique $ X $ observée $ n $ fois au cours de $ N $ années. Ce sera par exemple la hauteur de pluie d’un mois particulier auquel cas $ n $ sera égal à $ N $, ou encore la hauteur maximale de pluie en 1 heure observée au sein d’un « événement pluvieux ». Dans ce cas $ n $, nombre d’épisodes, pourra être très supérieur à $ N $.

Si la hauteur de pluie mensuelle ne pose pas de problème de définition, si ce n’est pour les pluies se produisant à cheval sur deux mois consécutifs, il n’en va pas de même pour la définition d’un « épisode pluvieux » qui répond nécessairement à une certaine subjectivité (due en particulier au choix de la période sans pluie supposée séparer deux événements consécutifs).

La détermination de la période de retour d’une valeur particulière de la variable $ X $ découle du classement par ordre décroissant des valeurs observées. Voir à ce sujet : Classement fréquentiel (HU).

Difficulté dans l'interprétation et l'utilisation de la notion de période de retour

Cette notion est souvent mal comprise et mal utilisée. Les confusions les plus fréquentes sont les suivantes.

Confusion entre la période de retour et le délai à attendre pour qu’un événement similaire se produise

En pratique les événements rares se produisent de façon totalement aléatoire et n'ont aucune raison de se reproduire avec une quelconque régularité. Il est ainsi parfaitement possible d'observer deux événements dont la période de retour est supérieure à 10 ans la même année et de devoir attendre plusieurs dizaines d'années avant d'en observer un nouveau. Pour éviter cette confusion, il est préférable de parler de période de retour statistique de façon à mettre l’accent sur le caractère aléatoire des phénomènes. De façon pratique, l’association d’une période de retour statistique à un événement particulier nécessite de disposer de données sur une longue période (typiquement de durée 3 à 5 fois supérieure à la période de retour maximum à laquelle on s’intéresse) pendant laquelle les conditions (climatiques et autres) sont restées stables.

Confusion entre la période de retour de la variable étudiée et celle de l'événement

Cette confusion est particulièrement fréquente pour les événements pluvieux que l'on peut caractériser par un grand nombre de variables aléatoires, en général des intensités moyennes maximum sur différentes durées (typiquement 6 min, 15 min, 30 min, 1 h, etc.). Dire qu'une pluie a une période de retour de 10 ans en 6 minutes ne signifie nullement que l'événement qui a généré cette intensité spécifique sur cette durée particulière a une période de retour de 10 ans. D'une part, l'événement lui même peut être considéré comme unique et donc de période de retour infinie, et, d'autre part, on peut lui associer autant de périodes de retour (qui n'ont aucune raison d'être égales) qu'il y a de variables étudiées.

Confusion entre la période de retour d'atteinte et la période de retour de dépassement

La période de retour mesure l'intervalle de temps moyen qui sépare deux événements pour lesquels la variable aléatoire retenue dépasse la valeur spécifiée et non celle pour laquelle elle l'égale. Si on dimensionne (de façon parfaite) un ouvrage de retenue pour une période de retour de 10 ans, ceci ne signifie pas qu'il se remplira totalement en moyenne 10 fois par siècle mais qu'il débordera 10 fois par siècle.

Confusion entre la période de retour observée et la probabilité d'apparition d'un événement identique dans le futur

Associer une période de retour à une variable aléatoire se fait en analysant les événements passés (voir Analyse fréquentielle (HU)). Considérer qu'une valeur qui a été atteinte ou dépassée en moyenne 10 fois au cours du siècle passé le sera à nouveau 10 fois au cours du siècle à venir suppose une hypothèse très forte de stabilité du phénomène :

  • Les phénomènes météorologiques à l'origine des événements hydrologiques doivent donc être identiques, ce qui a peu de chances d'être vrai du fait du changement climatique ;
  • pour les grandeurs hydrologiques (débits, volumes, etc.), il est en outre nécessaire que le bassin versant et le système hydrologique restent les mêmes, ce qui est également totalement improbable du fait de la vitesse avec laquelle évoluent aussi bien l'occupation des sols que les pratiques culturales ou les règles d'aménagement des territoires.

Période de retour et période de retour d'insuffisance

En hydrologie et en assainissement on utilise la notion de période de retour pour qualifier un événement observé mais également pour dimensionner un ouvrage hydraulique à concevoir.

la période de retour d'insuffisance d'un ouvrage caractérise alors l'intervalle moyen de temps séparant deux occurrences d'un événement qui vont générer une valeur de volume ou de débit dépassant la capacité de l'ouvrage.

Le choix de cette grandeur est discuté dans un article spécifique : Période de retour d’insuffisance (HU).

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