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Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/B03 : Différence entre versions

De Wikibardig
(Cas 1 : k = k0)
(Cas 1 : k = k0)
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\left\{
 
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     \begin{array}{ll}
 
     \begin{array}{ll}
B J_0^L Y_0^0 - B J_0^0 Y_0^L = J_0^L - \frac{}{ik_0}(A J_1^L J_0^0 + B J_0^0 Y_1^L) \textrm{  En faisant  }  J_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - J_0^0 \frac{}{ik_0}} \color{blue}{\textrm{(2)}}\\
+
B J_0^L Y_0^0 - B J_0^0 Y_0^L = J_0^L - \frac{s^2 α}{ik_0}(A J_1^L J_0^0 + B J_0^0 Y_1^L) \textrm{  En faisant  }  J_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - J_0^0 \frac{s^2 α}{ik_0}} \color{blue}{\textrm{(2)}}\\
A Y_0 ^L J_0^0 - A Y_0 ^L J_0^L = Y_0^L -\frac{}{ik_0} (A J_1^L Y_0^0 + B Y_1^L Y_0^0) \textrm{  En faisant  }  Y_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - Y_0^0 \frac{}{ik_0}} \color{blue}{\textrm{ (2) }}
+
A Y_0 ^L J_0^0 - A Y_0 ^0 J_0^L = Y_0^L -\frac{s^2 α}{ik_0} (A J_1^L Y_0^0 + B Y_1^L Y_0^0) \textrm{  En faisant  }  Y_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - Y_0^0 \frac{s^2 α}{ik_0}} \color{blue}{\textrm{ (2) }}
 
  \end{array}
 
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\right. </math>
 
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Version du 2 juin 2023 à 15:10

Sommaire

Contexte

Aujourd’hui, les effets du changement climatique sont à l’origine de la dégradation des zones côtières. La fonte des glaciers et la dilatation thermique des océans provoquent l’augmentation du niveau de la mer, à laquelle cela s’ajoute des évènements climatiques extrêmes fréquents. Ces phénomènes sont responsables de l’érosion et de la submersion marine grandissantes qui menacent les infrastructures et les populations à proximité.

Le GIEC annonçait en septembre 2019, dans le Rapport Spécial sur l’Océan, la Cryosphère et les Changements Climatiques (SROCC), une hausse des océans de 40 cm d’ici 2100 dans un scénario optimiste, où le réchauffement global serait inférieur à 2°C. Alors que la trajectoire actuelle se situerait plutôt entre 3° et 4°C, on pourrait s’attendre à une augmentation de 80 cm du niveau de la mer. Celle-ci se poursuivrait au rythme de plusieurs centimètres par an tandis que la tendance actuelle est à quelques centimètre. D’après les experts, ce phénomène conduirait au déplacement de 280 millions de personnes.

Face à ce danger, adapter les territoires littoraux devient indispensable. Pour trouver des solutions adaptées, il est nécessaire de quantifier l’impact du changement climatique sur le littoral. Pour cela, nous nous intéresserons à l’influence de la houle qui constitue un des principaux agents de l’érosion côtière.


Lien vers la vidéo de présentation du projet : https://www.dailymotion.com/video/x8le9dw

Lien vers la vidéo de présentation du modèle mathématiques : https://www.dailymotion.com/video/x8leaaw

Présentation du projet et des outils de modélisation

Dans ce projet, nous modélisons les mouvements de la houle grâce à l’Équation aux Dérivées Partielles (EDP), donnée par le modèle de Berkhoff, que nous résoudrons numériquement par la méthode de l’homotopie avec différentes conditions initiales.

Modèle de Berkhoff

Pour modéliser la houle, nous utilisons le modèle de Berkhoff qui a pour expression : $ \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 $

Avec : $ \phi $ : le potentiel, k : le nombre d’onde, fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $ par la relation $ \omega^2=gk \tanh(kH) $, C : la célérité de l’onde, Cg : la célérité de groupe des vagues.

Cette EDP modélise la réflexion des ondes et la réfraction ou la diffraction sur les digues.

Ce modèle est applicable lorsque les hypothèses suivantes sont vérifiées /!\ À compléter


Pour simplifier le problème, nous nous placerons dans le domaine des ondes longues qui implique $ C=C_g=\sqrt{gH} $. L’équation de Berkhoff devient : $ \nabla \phi+k^2\phi=0 $.

La relation entre le potentiel $ \phi $ et la hauteur de houle dans le temps $ h(x,t) $ est donnée par : $ h(x,t)=\Re \left (\phi e^{-i\omega t} \right ) $.

Homotopie

La résolution analytique de l’équation de Berkhoff donne la solution réelle, cependant cette méthode peut être difficile à exécuter en fonction des conditions appliquées pour modéliser des formes de littoral complexes. C’est pourquoi nous cherchons à approximer la solution par la méthode HAM « Homotopie Perturbation Method ». Celle-ci consiste à approcher une solution initiale connue par une fonction polynomiale qu’on suppose proche de la solution recherchée pour toutes les valeurs d’un paramètre d’homotopie p compris entre 0 et 1.

La méthode d’homotopie consiste à résoudre l’équation différentielle suivante : $ L(u(x)=f(x)+N(u(x), x \in \Omega $

Avec les conditions limites : $ B(u,u_n=0), x \in \Gamma $ L est un opérateur linéaire, N un opérateur non-linéaire f les termes complémentaires de l’équation.

Dans notre cas, on utilisera l'homotopie de Liao définit par : $ (1-p)\left[ L(U(x,t);p)-L(u_0(x,t)) \right ] +H(p)\left[ L(U(x,t);p)-N(U(x,t),p)-f(x) \right] $

Avec $ u_0 $ une estimation initiale de la solution.

Lorsque p = 0 nous retrouvons la solution initiale connue $ U = u_0 $ et lorsque p = 1, nous retrouvons la solution exacte vers laquelle on veut tendre.

La transformation de p de 0 à 1 qui conduit U(x) de la solution estimée à la solution exacte provient de la transformation de U(x) en série de Taylor : $ U(x)=u_0(x)+\sum_{m=1}^\infty u_m(x)p^m $ avec $ u_m(x)=\dfrac{1}{m!}\dfrac{\partial^mU(x,t;p)}{\partial p^m}\Bigr]_{p=0} $

$ \textbf{Hypothèses simplificatrices :} $

Dans notre cas pour éviter les non-linéarités, on fait l’hypothèse propre à la méthode HAM : $ H(p)=1 $. De plus, on partira d’une solution initiale nulle et on prendra pour opérateur linéaire L, la dérivée seconde.

La relation d’homotopie devient : $ (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 $

Cas 1 : Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont

Dans le cas n°1, nous considérons un canal monodimensionnel plat, de longueur L de conditions limites :

À l’aval, en x = 0 : Condition de Dirichet $ \phi(x=0)=1 $ En amont, en x = L : Condition de Robin $ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $

Résolution analytique

Résoudre l’équation du modèle de Berkhoff en 1D, $ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ revient à résoudre l’équation caractéristique suivante : $ r^2+k^2=0 $ Avec $ r=\pm{ik} $

D’où la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi(x=0)=A+B=1 $ $ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $ $ \iff {ikA}e^{ikL}-{ikB}e^{-ikL} = {ik}({A}e^{ikx} + {B}e^{-ikx}) $

Ce qui donne A = 1 et B = 0.

Donc le potentiel complexe vaut : $ \phi(x)=e^{ikx} $

Pour avoir la hauteur de la houle dans le temps, on utilise : $ h(x,t) = \Re\left(\phi e^{-i\omega t}\right) $. En remplaçant $ \phi $ trouvé précédemment : $ h(x,t)=\Re\left(e^{i(kx-\omega t)}\right) $.

$ {\color{green}h(x,t)=\cos(kx–\omega t)} $

Résolution par homotopie

On rappelle que la relation d’homotopie est la suivante : $ (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 $

En injectant la décomposition en série entière de $ \phi(x, p) $ : $ \phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+... $ et sa seconde dérivée $ \phi_{0, xx}(x) $ : $ \phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+... $

On obtient : $ (1- p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 $

  • Ordre 0 :

$ \phi_{0,xx}(x)=0 $ $ \Rightarrow \phi_0(x)=Ax+B $ par intégration.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_0^0=B=1 $

$ \phi_{0, x}^L=A={ik}\phi_0^L $ avec $ \phi_0^L=AL+1 $

Donc : $ {\color{green}\phi_{0}(x)=\left(\frac{ik}{1-ikL}\right){x}+1} $

  • Ordre 1 :

$ \phi_{1,xx}(x)={-k^2}\phi_0(x) $ $ \Rightarrow \phi_1(x) = -k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B $.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_1^0=B=0 $

$ \phi_{1, x}^L=-k^2(\frac{ikL^2}{(1-ikL)2} + L)+A ={ik}\phi_1^L $ avec $ \phi_1^L=-k^2(\frac{ikL^3}{(1-ikL)6} + \frac{L^2}{2})+AL $

Donc : $ {\color{green}\phi_{1}(x)= - \frac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)}{3(1-ikL)^2}x-k^2\left(\frac{ik}{6(1-ikL)}x^3+\frac{1}{2}x^2\right)} $

  • Ordre 2 :

On utilise les valeurs suivantes : $ k=\dfrac{1} {100} $ (nombre d'onde en m-1), $ H=40 $ (profondeur en m), $ c=\sqrt{gH} $ (célérité de l'onde en m/s), $ \lambda=\dfrac{2\pi}{k} $ (longueur d'onde en m), $ L=2\lambda $ (longueur du domaine en m).

$ \phi_{2,xx}(x)={-k^2}\phi_1(x) $ $ \iff \phi_2(x) = -k^2\int\phi_1dxdx+Ax+B $.

Cas1 GIF.gif

Étude de sensibilité

Par définition, l’étude de sensibilité permet de quantifier la sensibilité d’une grandeur aux variations d’un paramètre caractéristique du système. Dans ce projet, nous ferons varier la grandeur k associée au nombre d’onde. En fixant les autres paramètres, on peut s’intéresser à la manière dont cette variable influence la convergence de la solution par homotopie vers la solution analytique.

$ \textbf{Pour k = 0,1 :} $ Cas1 0.1.png $ \textbf{Pour k = 0,001 :} $ Cas1 0.001.png

On observe que plus k est petit, plus la solution par homotopie converge vers la solution analytique.

Cas 2 : Canal monodimensionnel plat avec une condition de flux en aval et une réflexion totale en amont

Dans le cas n°2, nous considérons un canal monodimensionnel plat, de longueur L de conditions limites :

À l’aval, en x = 0 : Condition de Robin $ \phi_x(x=0)=ik(2-\phi) $ En amont, en x = L : Condition de Dirichlet $ \phi_x(x=L)=0 $

Résolution analytique

Résoudre l’équation du modèle de Berkhoff en 1D, $ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ revient à résoudre l’équation caractéristique suivante : $ r^2+k^2=0 $ Avec $ r=\pm{ik} $

D’où la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi(x=0)=A+B=ik(2-\phi) $ $ \phi_x(x=L)=0 $ $ \iff {ikA}e^{ik L}-{ikB}e^{-ik L} = {ik}({A}e^{ikx} + {B}e^{-ikx}) $

Ce qui donne $ A = 1 $ et $ B = e^{2ikL}. $

Donc le potentiel complexe vaut : $ \phi(x)=e^{ikx}+e^{ik(2L-x)} $

Pour avoir la hauteur de la houle dans le temps, on utilise : $ h(x,t) = \Re\left(\phi e^{-i\omega t}\right) $. En remplaçant $ \phi $ trouvé précédemment : $ {h(x,t)} =\Re \left(e^{i(kx- \omega t)} +e^{i(k(2L-x)- \omega t)}\right) $.

$ {\color{green} h(x,t)=\cos(kx–\omega t)+\cos(k(2L-x)-\omega t)} $

Résolution par la méthode d'homotopie

De la même manière que pour la cas 1, la relation d’homotopie est la suivante :

$ (1- p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 $

  • Ordre 0 :

$ \phi_{0,xx}(x)=0 $ $ \Rightarrow \phi_0(x)=Ax+B $ par integration.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_{0, x}^0=B=2 $

$ \phi_{0, x}^L=A=0 $

Donc : $ {\color{green} \phi_0(x)=2} $

  • Ordre 1 :

$ \phi_{1,xx}(x)={-k^2}\phi_0(x) $ $ \Rightarrow \phi_1(x) = -k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B $.

Par intégration : $ \phi_1(x) = {-k^2}x^2 + Ax + B $

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_{1, x}^L={-k^2}2L+A = 0 $ d'où $ A = 2L{k^2} $

$ \phi_{1, x}^0=ik(2-\phi{1}^0) $ avec $ \phi_1^0 = {-k^2}B et \phi_{1, x}^0 = A $ d'où $ B = 2(i-kL) $

Donc : $ {\color{green}\phi_1(x)= {-k^2}x^2 + 2L{k^2}x + 2(i-kL)} $

  • Ordre 2 :

On utilise les valeurs suivantes : $ k=\dfrac{1} {100} $ (nombre d'onde en m-1), $ H=40 $ (profondeur en m), $ c=\sqrt{gH} $ (célérité de l'onde en m/s), $ \lambda=\dfrac{2\pi}{k} $ (longueur d'onde en m), $ L=2\lambda $ (longueur du domaine en m).

$ \phi_{2,xx}(x)={-k^2}\phi_1(x) $ $ \iff \phi_2(x) = -k^2\int\phi_1dxdx+Ax+B $.

Cas2 GIF.gif

Étude de sensibilité

Comme pour le cas précédent, on s'intéresse à la conséquence de la variation du nombre d'onde k sur la convergence de la solution par homotopie vers la solution analytique.

$ \textbf{Pour k = 0,1 :} $ Cas2 0.1.png $ \textbf{Pour k = 0,001 :} $ Cas2 0.001.png

/!\ Observations/ Interprétation à ajouter

Cas 3 : Canal monodimensionnel, avec pente de fond constante et une sortie libre amont

Résolution analytique

Dans le cas n°3, nous considérons un canal monodimensionnel, avec une pente de fond constante $ s $ et une sortie libre en amont, de conditions limites :

À l’aval, en x = 0 : Condition de Dirichlet $ \phi(x=0)=1 $

En amont, en x = L : Condition de Robin $ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $


Dans ce cas on a : $ C = C_g = \sqrt{gH(x)}. $

H n’est pas constant, on ne peut pas utiliser le modèle de Berkhoff simplifié comme dans les deux cas précédents.

$ \Delta(CC_g\Delta\phi) + {k}^{2}CC_g\phi = 0 \Leftrightarrow H(x)\phi_{xx} - \phi_x + k^{2}H(x)\phi = 0 $


On appliquera dans les calculs qui suivent le changement de variable $ z = H_{0} -sx $ .

Pour la résolution du cas 3, on considère la pente $ s = \frac{1}{200} $.


Cas 1 : k = k0

Pour $ k = k_0 $ on a : $ \nabla(CC_g\nabla\phi) + {k_0}^{2}CC_g\phi = 0 \Leftrightarrow H(x) \phi_{xx} + \frac{\partial H}{\partial x} \phi_{x} + {k_0}^{2}H(x)\phi = 0 \Leftrightarrow z^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + z \frac{\partial \phi}{\partial z} + \left(\frac{k_0 z}{s}\right)^2\phi = 0 $

On reconnaît une équation de type Bessel : $ z^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + (2p+1)z \frac{\partial \phi}{\partial z} + (α^2 z^{2r} + β^2 ) \phi = 0 $

avec par identification : $ \left\{ \begin{array}{r c l} p=0 \\ β=0 \\ r = 1 \\ α = \frac{k_0}{s} \end{array} \right. $

La solution de cette équation est :$ \phi = z^{-p} \left( A J_{P/r} (\frac{α x^r}{r}) + B Y_{P/r} (\frac{α x^r}{r} ) \right) $

Avec $ P = \sqrt{p^2 + β^2} $, A et B des constantes à déterminer.

D'où $ \color{green}{ \phi = A J_0(αx) + B Y_0(αx)} $

Soit : $ \color{green}{ \phi = A J_0(α(H-sx)) + B Y_0(α(H-sx))} $


  • En $ x=0 $, on a $ z=H_0 $ donc :

$ \phi(x=0) = \phi(z=H_0) = \phi_0 ^{0} = 1 $

D'où : $ \color{green}{\phi_0 ^{0}=A J_0(H) + B Y_0(H) = 1} $


  • En $ x=L $ , on a $ z=H_0 -sL $ donc :

$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = ik\phi \Leftrightarrow \frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{-ik_0 \phi}{s} $ avec $ \left\{ \begin{array}{ll} J_0' = -J_1 \\ Y_0 = -Y_1 \end{array} \right. $

On a : $ \phi_1 = \frac{\partial \phi}{\partial z} = -A α s J_1 (α(H-sx)) - B α s Y_1 (α(H-sx)) $

Donc $ \color{green}{ \phi_1^L = -\frac{ik_0}{s}A J_0(α(H-sL)) - \frac{ik_0}{s}B Y_0(α(H-sL))} $

$ \color{green}{ \phi_1^L = -A α s J_0(α(H-sL)) - B α s Y_0(α(H-sL))} $


  • Détermination de A et B :

D'après les résultats précédents et en posant $ \left\{ \begin{array}{ll} J_0 (αH)= J_0 ^0 \\ Y_0 (αH) = Y_0 ^0 \\ J_1 (α(H-sL)) = J_1 ^L \\ Y_1 (α(H-sL)) = Y_1 ^L \end{array} \right. $ on a :


$ \left\{ \begin{array}{ll} A J_0^0 + B Y_0^0 = 1 \color{blue}{\textrm{ (1) }} \\ A J_1 ^L + B Y_1 ^L = \frac{ik_0}{α s^2} (A J_0^L + B Y_0^L) \color{blue}{\textrm{ (2) }} \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} B J_0^L Y_0^0 - B J_0^0 Y_0^L = J_0^L - \frac{s^2 α}{ik_0}(A J_1^L J_0^0 + B J_0^0 Y_1^L) \textrm{ En faisant } J_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - J_0^0 \frac{s^2 α}{ik_0}} \color{blue}{\textrm{(2)}}\\ A Y_0 ^L J_0^0 - A Y_0 ^0 J_0^L = Y_0^L -\frac{s^2 α}{ik_0} (A J_1^L Y_0^0 + B Y_1^L Y_0^0) \textrm{ En faisant } Y_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - Y_0^0 \frac{s^2 α}{ik_0}} \color{blue}{\textrm{ (2) }} \end{array} \right. $

$ \Leftrightarrow \color{green}{ \left\{ \begin{array}{ll} A = \frac{1}{C_1} \left(Y_0^L - \frac{sα}{ik_0} Y_1^L Y_0^0 J_0^L \times \frac{J_0^L}{J_0^L Y_0^0 - J_0^L Y_0^L + \frac{sα}{ik_0} J_0^0 Y_1^L} \right)\\ B = \frac{1}{C_2} \left(J_0^L - \frac{sα}{ik_0} J_1^L Y_0^0 \times \frac{Y_0^L}{Y_0^L J_0^0 - Y_0^0 J_0^L + \frac{sα}{ik_0} Y_0^0 J_1^L} \right) \end{array} \right. } $


Avec $ \left\{ \begin{array}{ll} C_1 = Y_0^L J_0^0 - Y_0^0 J_0^L + \frac{sα}{ik_0} J_1^L Y_0^0 -\left(\frac{sα}{ik_0}\right)^2 \left(\frac{J_1^L Y_1^L \left(Y_0^0\right)^2}{J_0^L Y_0^0 - J_0^L Y_0^L + \frac{sα}{ik_0} J_0^0 Y_1^L}\right)\\ C_2 = J_0^L Y_0^0 - J_0^0 Y_0^L + \frac{sα}{ik_0} Y_1^L J_0^0 -\left(\frac{sα}{ik_0}\right)^2 \left(\frac{Y_1^L Y_0^0}{Y_0^L J_0^0 - J_0^L Y_0^0 + \frac{sα}{ik_0} Y_0^0 J_1^L}\right) \end{array} \right. $

Cas 2 : k = k0 (H0/H(x))1/2

Pour $ k = k_0\sqrt{\frac{H_0}{H(x)}} $ et en appliquant le changement de variable $ z = H_{0} -sx $ on a : $ H(x)\phi_{xx} - s\phi_x + k^{2}H(x) = 0 \Leftrightarrow (H_{0} - sx) \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} - s \frac{\partial \phi}{\partial x} + {k_0}^{2}H_{0}\phi = 0 $

Or $ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \phi}{\partial x} = -s\phi_{z} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = s^2\phi_{zz} \end{array} \right. $ donc $ z s^2 \phi_{zz} + s^2\phi_z + {k_0}^{2}H_{0}\phi = 0 $


En posant $ \alpha^{2} = \left ( \frac{{k_0}^{2}H_{0}}{s^2} \right ) \Leftrightarrow \alpha = \left ( \frac{\sqrt{H_0}{k_0}^{2}}{s} \right ) $ on retrouve une équation du type Bessel de la forme $ z\phi_{zz} + \phi_z + {\alpha}^{2}\phi = 0 $ .


Donc : $ {\color{green}z\phi_{zz} + \phi_z + {\alpha}^{2}\phi = 0} $ avec $ \alpha^{2} = \left ( \frac{{k_0}^{2}H_{0}}{s^2} \right ) $


On a pour solution de l'équation de Bessel :

  • $ \phi(z) = \left( A J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z}) \right) $ avec A et B des constantes à déterminer.


  • En $ x = 0 $, on a $ z = H_0 $ donc :

$ {\color{green}\phi(x=0) = \phi(z=H_0) = A J_0 (2 \alpha \sqrt{H_0}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0}) = 1 } $


  • En $ x = L $, on a $ z = H_0 - sL = z_L $ donc :

$ \phi_x^L = ik\phi^L $ or $ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = -s \frac{\partial \phi}{\partial z} $ donc $ \phi_x = -s\phi_z $

D'où : $ -s \phi_z^{z_L} = i k_0 \phi^{z_L} \Leftrightarrow \phi_z^{z_L} = \frac{-i k^L}{s} \phi^{z_L} $ avec $ \left\{ \begin{array}{ll} \phi^L = A J_0 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z_L}) \\ \phi_z = \frac{- \alpha}{\sqrt{z}} \left( A J_1 (2 \alpha \sqrt{z} + B Y_1 (2 \alpha \sqrt{z}) \right ) \end{array} \right. $


Ainsi $ {\color{green}\phi_z^{z_{L}} = \frac{- \alpha}{\sqrt{z_{L}}} \left( A J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) \right )} $.


  • Détermination de A et B :

D'après les résultats trouvés précédemment, on a le système d'équations suivant :


$ \left\{ \begin{array}{ll} A J_0 (2 \alpha \sqrt{H_O}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0})=1 \\ \frac{- \alpha}{\sqrt{z_L}} \left( A J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L})\right) = \frac{-i k_L}{s} \left (A J_0 (2 \alpha \sqrt{z_L} + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z_L})\right ) \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} A J_0 (2 \alpha \sqrt{H_O}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0}) = 1 \\ A J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) = i \left(A J_0 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z_L})\right ) \end{array} \right. $


En posant $ \left\{ \begin{array}{ll} J_0 (2 \alpha \sqrt{H_0})=J_0^0 \\ Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0})=Y_0^0 \end{array} \right. $ et $ \left\{ \begin{array}{ll} J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L})=J_1^L \\ Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L})=Y_1^L \end{array} \right. $ on a :


$ \left\{ \begin{array}{ll} A J_0^0 + B Y_0^0 = 1 \\ A J_1^L + B Y_1^L = i A J_0^L + i B Y_0^L \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} A = \frac{1-B Y_0^0 }{J_0^0} \\ A (J_1^L - i J_0^L) = B(i Y_0^L-Y_1^L) \end{array} \right. $

$ \Leftrightarrow {\color{green}\left\{ \begin{array}{ll} A = \frac{iY_0^L - Y_1^L}{J_0^0(iY_0^L - Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L-i J_0^L)} \\ B = \frac{J_1^L - i J_0^L}{J_0^0 (i Y_0^L-Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L - i J_0^L)} \end{array} \right.} $


Donc on a :

$ {\color{green}\phi(z)=\frac{iY_0^L - Y_1^L}{J_0^0(iY_0^L - Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L-i J_0^L)} J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + \frac{J_1^L - i J_0^L}{J_0^0 (i Y_0^L-Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L - i J_0^L)} Y_0 (2 \alpha \sqrt{z})} $

Résolution par homotopie

On a vu dans la résolution analytique, avec le changement de variable $ H(x) = H_0 -sx $, que l'équation de Berkhoff est : $ (H_0 - sx)\phi_{xx} - s\phi_x + k^{2}((H_0 -sx)\phi) = 0 $


Cas 1 : k = k0

La relation d'homotopie devient : $ (1-p)\phi_{xx} + p[(H_0 - sx\phi_{xx} -s\phi_{x} + {k_0}^{2}{H_0 - sx}\phi) = 0 $

Comme dans les cas précédents, on injecte la décomposition en série entière de $ \phi(x,p), \phi_x(x,p) $ et $ \phi_{xx}(x,p) $ :

$ \left\{ \begin{array}{ll} \phi(x,p) = \phi_{0}(x) + p\phi_1(x) + p^{2}\phi_2(x) + ... \\ \phi_x(x,p) = \phi_{0,x}(x) + p\phi_{1,x}(x) + p^{2}\phi_{2,x}(x) ... \\ \phi_{xx}(x,p) = \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^{2}\phi_{2,xx}(x) + ... \end{array} \right. $


Ce qui donne : $ (1-p)[\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^{2}\phi_{2,xx}(x) + ...] + p[(H_0 -sx)(\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^{2}\phi_{2,xx}(x) + ...) - s(\phi_{0,x}(x) + p\phi_{1,x}(x) + p^{2}\phi_{2,x}(x) + ...) + {k_0}^2(H_0 - sx)(\phi_{0}(x) + p\phi_{1}(x) + p^{2}\phi_{2}(x) + ...)] $


Par identification, comme $ p \ne 0 $, on obtient :

  • Ordre 0 :

$ \phi_{0,xx} (x)=0 $ $ \Rightarrow \phi_0(x)=Ax+B $ par intégration, avec A et B des constantes à déterminer.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_0^0=B=1 $ $ \phi_{0, x}^L=A={ik}\phi_0^L $ avec $ \phi_0^L=AL+1 $

Ainsi $ {\color{green}\phi_{0}(x)=\left(\frac{ik}{1-ik_0L}\right){x}+1} $

  • Ordre 1 :

$ \phi_{1,xx}(x) + (H_0 - sx) \phi_{0, xx}(x) + s\phi_{0, x}(x) - {k_0}^{2}{H_0 - sx}\phi_0(x) = 0 $


En remplaçant $ \phi_{0, xx}(x), \phi_{0,x}(x) $ et $ \phi_0(x) $, on a :

$ \phi_{1,xx}(x) = s\left(\frac{ik}{1-ikL}\right) - {k_0}^{2}{H_0 - sx}\left(\frac{ik_0 x}{1-ik_0 L} +1\right) $

$ \Rightarrow \phi_{1,x}(x) = \frac{isk_0}{1-ik_0L}x - {k_0}^{2}H_0 x - \frac{i{k_0}^{3}H_0}{2(1-ik_0L)}x^2 + \frac{s{k_0}^2}{2} x^2 + \frac{is{k_0}^2}{3(1-ik_0L)} x^3 + A $

$ \Rightarrow {\color{green} \phi_1(x) = \frac{isk_0}{2(1-ik_0L)}x^2 - \frac{{k_0}^{2}H_0}{2} x^2 - \frac{i{k_0}^{3}H_0}{6(1-ik_0L)}x^3 + \frac{s{k_0}^2}{6} x^3 + \frac{is{k_0}^2}{12(1-ik_0L)} x^4 + Ax + B} $

On trouve A et B avec les conditions limites :

$ \left\{ \begin{array}{ll} \phi_{1}^0 = {\color{green}B = 0 } \\ {\color{green} A = \frac{18isk_0L + 6i{k_0}^3 H_0 L^2 - is{k_0}^2 L^3 - 2i{k_0}^3 H_0 L^3}{12(1-ik_0L)^2} + \frac{{k_0}^2 H_0 L}{1-ik_0L}\left(\frac{sL^2}{6} - \frac{L}{2} - \frac{sL}{2} - 1\right) } \end{array} \right. $

Cas 2 : k = k0 (H0/H(x))1/2

La relation d'homotopie devient : $ (1-p)\phi_{xx} + p[(H_0 - sx\phi_{xx} -s\phi_{x} + {k_0}^{2}{H_0}\phi) = 0 $

De la même manière que pour le cas 3, sous-cas 1 ci-dessus, on a :

$ (1-p)[\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^{2}\phi_{2,xx}(x) + p^{3}\phi_{3,xx}(x) + ...] + p[(H_0 -sx)(\phi_{xx}(x,p) = \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^{2}\phi_{2,xx}(x) + p^{3}\phi_{3,xx}(x) + ... ) - s(\phi_{0,x}(x) + p\phi_{1,x}(x) + p^{2}\phi_{2,x}(x) + p^{3}\phi_{3,x}(x) + ...) + {k_0}^2{H_0}(\phi_{0}(x) + p\phi_{1}(x) + p^{2}\phi_{2}(x) + p^{3}\phi_{3}(x) + ...)] $

Par identification, comme $ p \ne 0 $, on obtient :

  • Ordre 0 :

$ \phi_{0,xx} (x)=0 $ $ \Rightarrow \phi_0(x)=Ax+B $ par intégration.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_0^0=B=1 $ $ \phi_{0, x}^L=A={ik}\phi_0^L $ avec $ \phi_0^L=AL+1 $

Ainsi $ {\color{green}\phi_{0}(x)=\left(\frac{ik}{1-ikL}\right){x}+1} $

  • Ordre 1 :

$ \phi_{1,xx}(x) - \phi_{0, xx}(x) + (H_0 -sx)\phi_{0, xx}(x) - s\phi_{0,x}(x) + {k_0}^{2}{H_0}\phi_0(x) = 0 $

En remplaçant $ \phi_{0, xx}(x), \phi_{0,x}(x) et \phi_0(x) $, on a :

$ \phi_{1,xx}(x) = s\left(\frac{ik}{1-ikL}\right) - {k_0}^{2}{H_0}\left(\frac{ik}{1-ikL}\right)x - {k_0}^2{H_0} $

$ \Rightarrow \phi_{1,x}(x) = -{k_0}^{2}{H_0}\left(\frac{ik}{1-ikL}\right)\frac{x^2}{2} + \left(\frac{ik}{1-ikL}\right)sx - {k_0}^2{H_0}x + A $

$ \Rightarrow {\color{green} \phi_1(x) = -{k_0}^{2}H_0\left(\frac{ik}{1-ikL}\right)\frac{x^3}{6} + \left(\frac{ik}{1-ikL}\right)s\frac{x^2}{2} – {k_0}^{2}{H_0}\frac{x^2}{2} + Ax + B} $

On trouve A et B avec les conditions limites :

$ \left\{ \begin{array}{ll} \phi_{1}^0 = {\color{green}B = 0 } \\ {\color{green} A = \frac{k_0^2{H_0}L}{1 – ikL} \left(1-\frac{ik}{2}+\frac{ikL}{2(1-ikL)}+\frac{k^2 L^2}{6(1-ikL)}\right) - \frac{isLk}{(1-ikL)^2} \left(1-\frac{Lk}{2}\right)} \end{array} \right. $

Étude de sensibilité

Cas 4 : Vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale

Résolution analytique

Dans le cas n°4, nous considérons une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale sur une surface libre dans un domaine infini de grande profondeur. La source ponctuelle est appliquée autour d’un cercle de rayon $ r_0 $ et centré sur un domaine circulaire de rayon R qui laisse sortir cette onde libre en r = R.

L’équation de Berkhoff se simplifie en équation de Helmotz : $ \begin{cases} \Delta \phi + k^2\phi=0, \\ \phi^{r_0}=1, \\\phi_r^{R}=ik\phi^{R}. \end{cases} $

En coordonnées polaires, la symétrie de révolution du problème le rend indépendant de $ \theta $. $ \begin{cases} \phi_{rr}+\dfrac{1}{r}\phi_r + k^2\phi=0, \\ \phi^{r_0}=1, \\\phi_r^{R}=ik\phi^{R}. \end{cases} $

avec $ r_0=1m $, $ R=100m $ et $ k=0.1m^{-1} $.


L’équation à résoudre est une équation de type Bessel, traité précedemment dans le cas 3 en coordonnées cartésiennes. La solution de l’équation est de la forme :

$ {\color{green}\phi(r) = AJ_0(kr) + BY_0(kr)} $ avec A et B des constantes réelles à déterminer avec les conditions limites.

On a pour équation de Berkhoff : $ \phi + k^2\phi=0 $


Les conditions limites deviennent :

$ \begin{cases} (1) \phi(r=r_0) = AJ_0(kr_0)+BY_0(kr_0), \\ (2) \phi_1(r=R) = ik\phi(r=R) \end{cases} $ avec $ \phi(r=R) = A{J_0}(kR) + B{Y_0}(kR) $


Comme $ \phi_1(r) = -kAJ_1(kr) - kBY_1(kr) $ alors $ \phi_1(r=R) = -kAJ_1(kR) - kBY_1(kR) $

D'où $ (2) $ devient : $ -k(AJ_1(kr) + BK_1(kr)) = ik(AJ_0(kR) + BY_0(kR)) \iff -AJ_1(kR) - BY_1(kR) = iAJ_0(kR) + iBY_0(kR) $


$ \begin{cases} AJ_0(kr_0) + BY_0(kr_0) = 1, \\ -AJ_1(kR) - BY_1(kR) = iAJ_0(kR) + iBY_0(kR) \end{cases} $


On trouve : $ B = \frac{1-AJ_0(kr_0)}{Y_0(kr_0)} $ avec $ A = \frac{Y_1(kR) + iY_0(kR)}{J_0(kr_0)(Y_1(kR) + iY_0(kR)) - Y_0(kr_0)(J_1(kR) + iJ_0(kR))} $

Résolution par la méthode d’homotopie

Dans le cas polaire, l’équation de Berkhoff est modifié puisque la symétrie de révolution induit une équation indépendante de $ \theta $ : $ \Delta\phi + k^{2}\phi = \phi_{rr} + \frac{1}{r}{\phi_r} + k^{2}\phi = 0 $

Donc la relation d’homotopie devient : $ (1-p)\phi_{rr} + p(\phi_rr + \frac{1}{r}\phi_r + k^{2}\phi) = 0 $

Comme dans le cas précédent, on injecte la décomposition en série entière de $ \phi(r, p), \phi_{r}(r,p) et \phi_{rr}(r,p) $ :

$ \phi(r,p) = \phi_{0}(r) + p\phi_{1}(r) + p^{2}\phi_{2}(r) + p^{3}\phi_{3}(r) + … $

$ \phi_{r}(r,p) = \phi_{0,r}(r) + p\phi_{1,r}(r) + p^{2}\phi_{2,r}(r) + p^{3}\phi_{3,r}(r) + … $

$ \phi_{rr}(r,p) = \phi_0,{rr}(r) + p\phi_{1,rr}(r) + p^{2}\phi_{2,rr}(r) + p^{3}\phi_{3,rr}(r) + … $

Ce qui donne : $ (1-p) [\phi_0,{rr}(r) + p\phi_{1,rr}(r) + p^{2}\phi_{2,rr}(r) + p^{3}\phi_{3,rr}(r) + …] + p[\phi_{0,rr}(r) + p\phi_{1,rr}(r) + p^{2}\phi_{2,rr}(r) + p^{3}\phi_{3,rr}(r) + … + \frac{1}{r}(\phi_{0,r}(r) + p\phi_{1,r}(r) + p^{2}\phi_{2,r}(r) + p^{3}\phi_{3,r}(r) + …) + k^{2}(\phi_0(r) + p\phi_1(r) + p^{2}\phi_2(r) + p^{3}\phi_3(r) + …)] $

Par identification, comme $ p \ne 0 $ :

  • Ordre 0 :

$ \phi_{0,rr}(r)=0 $ $ \Rightarrow \phi_0(r)=Ar+B $ par intégration.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_0^{r_0}=A{r_0} + B=1 $ Donc $ B = 1 - A{r_0} $

Et $ \phi_{0,r} = A $ $ \phi_{0,r}^R = A = ik(AR + B) $ Alors $ A = \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)} et B = 1 - {r_0}\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)} $

Donc : $ {\color{green}\phi_{0}(r)=\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right){r}+1 - {r_0}\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}} $

  • Ordre 1 :

$ \phi_{1, rr}(r) + \frac{1}{r}\phi_{0,r}(r) + k^{2}\phi_0(r) = 0 $ $ \iff \phi_{1,rr}(r) = \frac{-1}{r}\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - k^2\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}{r} + \frac{1 - ikR}{1+ik(r_0 - R)}\right) $

Après une première intégration, on a : $ \phi_{1,r}(r) = -ln(r)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}r^{2}}{2(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}{r} + A_1 $

Après une seconde intégration, on a : $ \phi_{1}(r) = -r(ln(r) - 1)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}r^{3}}{6(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{2(1 + ik(r_0 - R))}{r^{2}} + {A_1}r + B_1 $

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_1(r = r_0) = 1 $

et $ \phi_1(r = r_0) = -{r_0}(ln({r_0}) - 1)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}{r_0}^{3}}{6(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{2(1 + ik(r_0 - R))}{{r_0}^{2}} + {A_1}{r_0} + B_1 $

En posant $ K_1 = -{r_0}(ln({r_0}) - 1)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}{r_0}^{3}}{6(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{2(1 + ik(r_0 - R))}{{r_0}^{2}} $

et $ \phi_{1,r}(r = R) = ik\phi_{1}^R $ $ \phi_{1,r}(r=R) = -ln(R)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}R^{2}}{2(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}{R} + A_1 = ik[-{R}(ln({r_0}) - 1)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}{R}^{3}}{6(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{2(1 + ik(r_0 - R))}{{R}^{2}} + {A_1}R + B1] $

En posant $ K_2 = -ln(R)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}R^{2}}{2(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}{R} $

et $ K_3 = -{R}(ln({r_0}) - 1)\left(\frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}\right) - \frac{ik^{3}{R}^{3}}{6(1+ik(r_0 - R))} - k^{2}\frac{1 - ikR}{2(1 + ik(r_0 - R))}{{R}^{2}} $


$ \begin{cases} K_1 + A_1{r_0} + B_1 = 1, \\ K_2 + A_1 = ik(K_3 + {A_1}R + B_1) \end{cases} $


On trouve : $ {\color{green}\begin{cases} A_1 = \frac{1}{ik(R - r_0) - 1}(K_2 - ik(K_3 + 1 - K_1)), \\ B_1 = 1 - K_1 - \frac{r_0}{ik(R-r_0) - 1}(K_2 - ik(K_3 + 1 - K_1)\end{cases}} $

On résout les ordres supérieurs avec WXMAXIMA.


  • Cas 1 : ω = gk tanh(kH)
Cas 4,1.gif
  • Cas 2 : ω = (gk)1/2
Cas 4,2.gif
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