Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/trinome2: BUCHER-GIORGI-LOTHON : Différence entre versions

Version du 9 juin 2020 à 17:03

Contextualisation

Modèle de Berkhoff

Dans le but de modéliser la houle, nous allons utiliser le modèle de Berkhoff. C'est un modèle bi-dimensionnel qui a pour expression:

$ \frac{\partial }{\partial x_i}(CC_g \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2CC_g\phi = 0 $ avec i = {1,2}

On note:

$ \phi $: le potentiel de vitesse, $ C $: la célérité de l'onde, $ C_g $: la célérité de groupe des vagues, $ k $: le nombre d'onde,

L'expression du nombre d'onde k est la suivante:

$ \omega^2 = gk\tan(kH) $

On note:

H: la profondeur, $ \omega $: la fréquence avec $ \omega = \frac{2\pi}{T} $

Nous nous plaçons dans le cadre des ondes longues, ce qui signifie que $ C = C_g = \sqrt{gH} $. L'équation devient alors:

$ \frac{\partial }{\partial x_i}(H \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2H\phi = 0 $

Méthode homotopique

Étude cas

Cas n°1 : canal uniforme unidimensionnel plat de longueur L avec sortie libre amont

Résolution : Méthode analytique

Dans le cadre de l'hypothèse canal uniforme plat, on a $ H = constante $. On a alors:

$ \frac{\partial }{\partial x_i}(H \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2H\phi = 0 \Leftrightarrow H\frac{\partial }{\partial x_i}( \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2H\phi = 0 \Leftrightarrow \cancel{H}\frac{\partial }{\partial x_i}( \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2\cancel{H}\phi = 0 \Leftrightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}+ k^2\phi = 0 $

On obtient alors une équation différentielle du second degré sans second membre à résoudre. L'équation d’onde est la suivante: $ h(x,t)=a_0\cos(kx-\omega t) $

$ \phi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx) $

avec $ k = \frac{\omega}{c} \Rightarrow k = \frac{2\pi}{T\sqrt{gH_0}} $

D'après les conditions initiales, on a:

$ \bullet \phi(0)=1 \Rightarrow A=1 $

$ \bullet \phi(L)=ik\phi \Rightarrow B= i $

On en déduit l'expression de $ \phi $:

$ \phi(x)= \cos(kx)+i\sin(kx) $

La hauteur de houle est :

$ H =  \frac{Re(\phi)}{ |\phi|}= \cos(kx)  $

avec une évolution dans le temps : $ h(x,t)=\cos(kx-wt) $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle

Cas n°2 : canal uniforme unidimensionnel réflexion totale amont

Résolution : Méthode analytique

L'équation différentielle est la même que dans le cas n°1. Seules les conditions initiales changent.

$ \phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx} $

avec $ k = \frac{\omega}{c} \Rightarrow k = \frac{2\pi}{T\sqrt{gH_0}} $

D'après les conditions initiales, on a:

$ \bullet $ En aval: $ \phi_x=ik(2-\phi) \Rightarrow B=1 $

$ \bullet $En amont: $ \phi_x=0 \Rightarrow A = e^{2ikL} $

On en déduit l'expression de $ \phi $:

$ \phi(x)= e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} = \cos(2kl-kx)+i\sin(2kL-kx)+\cos(kx)+i\sin(kx) $

Puis l'expression de H:

$ H =\frac{Re(\phi)}{|\phi|}=\frac{\cos(2kL-kx)+cos(kx)}{\sqrt{\Big(\cos(2kL-kx)+cos(kx)\Bigr)^2+\Big(\sin(2kL-kx)+\sin(kx)\Bigr)^2}}  $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle

Cas n°3 : Domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond constante

Résolution : Méthode Analytique

Berkhoff :

$ \frac{\partial}{\partial x}(H\frac{\partial\phi}{\partial x})+k^2H\phi=0 $ Expression de la hauteur

$ H(x)=H_0-px $

$ k=k_0 $

On obtient :

$ (H_0-px)\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-p\frac{\partial\phi}{\partial x}+k_0^2(H_0-px)\phi(x) $

En réalisant le changement de variable suivant :$ X=H_0-px $

On obtient l'équation : $ p^2X\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+p^2X\frac{\partial\phi}{\partial X}+k_0^2X\phi(X)=0 $

En divisant par $ p^2 $ puis en multipliant par $ X $

On obtient l'équation de Bessel suivante :

$ X^2\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+X\frac{\partial\phi}{\partial X}+\Big(\frac{k_0}{p}\Bigr)^2X^2\phi(X)=0 $

La solution est de la forme :

$ \phi(X)=AJ_0(X)+BY_0(X) $ avec $ J_0(X)=\sqrt{\frac{2}{\pi X}}\cos(X-\frac{\pi}{4}) $ et $ Y_0(X)=\sqrt{\frac{2}{\pi X}}\sin(X-\frac{\pi}{4}) $

c'est à dire : $ J_0(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi (H_0-px)}}\cos(H_0-px-\frac{\pi}{4}) $ et $ Y_0(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi(H_0-px)}}\sin(H_0-px-\frac{\pi}{4}) $

Avec les conditions initiales, on exprime les constantes A et B :

$ \phi(0)=1 $ et $ \frac{\partial\phi}{\partial_x}(x=L)=ik\phi(L) $

Expression de la hauteur : $ H= \frac{Re(\phi)}{|\phi|} $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle

Cas n°4 : Domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond exponentielle et sortie libre amont

Résolution : Méthode analytique

Expression de la hauteur

$ H(x)=H_0\mathrm{e}^x $

L'équation de Berkhoff devient : $ H_0\mathrm{e}^x\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+H_0\mathrm{e}^x\frac{\partial\phi}{\partial X}+k_0^2H_0\mathrm{e}^x\phi=0 $

On effectue le changement de variable suivant : $ X=H_0\mathrm{e}^x $

On obtient l'équation :$ X^3\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+X^2\frac{\partial\phi}{\partial X}+k_0^2X\phi(X)=0 $

Les solutions sont de la forme : $ \phi(X)=c_1\cos(k_0\log(X))+c_2\sin(k_0\log(X)) $

c'est à dire : $ \phi(x)=c_1\cos(k_0\log(H_0\mathrm{e}^x))+c_2\sin(k_0\log(H_0\mathrm{e}^x)) $

Avec les conditions initiales, on exprime les constantes $ c_1 $ et $ c_2 $ :

$ \phi(0)=1 $ et $ \frac{\partial\phi}{\partial_x}(x=L)=ik\phi(L) $

Expression de la hauteur : $ H= \frac{Re(\phi)}{|\phi|} $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle