Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/trinome2: BUCHER-GIORGI-LOTHON : Différence entre versions

Version du 9 juin 2020 à 18:08

Contextualisation

Le thème d’étude est la quantification de l’impact des houles sur le littoral. La probabilité de survenue d’événements extrêmes va considérablement augmenter à cause du changement climatique et leurs impacts sur le littoral va provoquer des désordres sur les secteurs les plus vulnérables entraînant le recul du trait de côte, la disparition de propriétés et d’ouvrages et des déplacements de populations.

Modèle de Berkhoff

Dans le but de modéliser la houle, nous allons utiliser le modèle de Berkhoff. Ce modèle est utilisé pour prédire la propagation et l'impact des vagues sur les côtes. C'est un modèle bi-dimensionnel qui a pour expression:

$ \frac{\partial }{\partial x_i}(CC_g \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2CC_g\phi = 0 $ avec $ i = {1,2} $

On note:

$ \phi $ : le potentiel de vitesse

$ C $ : la célérité de l'onde

$ C_g $ : la célérité de groupe des vagues

$ k $ : le nombre d'onde

$ H $ : la hauteur de la houle

Il se base sur un grand nombre d'hypothèses:

- le fluide est considéré conne étant parfait, incompressible et irrotationnel

- le fond est fixe et imperméable

- la hauteur de la houle est faible par rapport à sa longueur d’onde et à la profondeur

- les sollicitations atmosphériques à la surface libre sont négligées

Nous nous plaçons dans le cadre des ondes longues, ce qui signifie que $ C = C_g = \sqrt{gH} $. L'équation devient alors:

$ \frac{\partial }{\partial x_i}(H \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2H\phi = 0 $

Méthode homotopique

Étude cas

Cas n°1 : canal uniforme unidimensionnel plat de longueur L avec sortie libre amont

Résolution : Méthode analytique

Dans le cadre de l'hypothèse canal uniforme plat, on a $ H = constante $. On a alors:

$ \frac{\partial }{\partial x_i}(H \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2H\phi = 0 \Leftrightarrow H\frac{\partial }{\partial x_i}( \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2H\phi = 0 \Leftrightarrow \cancel{H}\frac{\partial }{\partial x_i}( \frac{\partial \phi}{\partial x_i})+ k^2\cancel{H}\phi = 0 \Leftrightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}+ k^2\phi = 0 $

On obtient alors une équation différentielle du second degré sans second membre à résoudre. L'équation d’onde est la suivante: $ h(x,t)=a_0\cos(kx-\omega t) $

$ \phi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx) $

avec $ k = \frac{\omega}{c} \Rightarrow k = \frac{2\pi}{T\sqrt{gH_0}} $

D'après les conditions initiales, on a:

$ \bullet \phi(0)=1 \Rightarrow A=1 $

$ \bullet \phi(L)=ik\phi \Rightarrow B= i $

On en déduit l'expression de $ \phi $:

$ \phi(x)= \cos(kx)+i\sin(kx) $

La hauteur de houle est :

$ H =  \frac{Re(\phi)}{ |\phi|}= \cos(kx)  $

avec une évolution dans le temps : $ \color{blue}h(x,t)=\cos(wt-kx) $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle

Valeurs attribuées pour le régime de houle :

$ H_0=2 m $

$ T=2 s $

$ c=4.43 m.s^{-1} $

$ k=0.709 m^{-1} $

Cas n°2 : canal uniforme unidimensionnel réflexion totale amont

Résolution : Méthode analytique

L'équation différentielle est la même que dans le cas n°1. Seules les conditions initiales changent.

$ \phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx} $

avec $ k = \frac{\omega}{c} \Rightarrow k = \frac{2\pi}{T\sqrt{gH_0}} $

D'après les conditions initiales, on a:

$ \bullet $ En aval: $ \phi_x=ik(2-\phi) \Rightarrow B=1 $

$ \bullet $En amont: $ \phi_x=0 \Rightarrow A = e^{2ikL} $

On en déduit l'expression de $ \phi $:

$ \phi(x)= e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} = \cos(2kl-kx)+i\sin(2kL-kx)+\cos(kx)+i\sin(kx) $

La hauteur de la houle est :

$ H =\frac{Re(\phi)}{|\phi|}=\frac{\cos(2kL-kx)+cos(kx)}{\sqrt{\Big(\cos(2kL-kx)+cos(kx)\Bigr)^2+\Big(\sin(2kL-kx)+\sin(kx)\Bigr)^2}}  $

avec une évolution dans le temps : $ \color{blue}h(x,t)=\frac{\cos(2kL-kx)+cos(kx)}{\sqrt{\Big(\cos(2kL-kx)+cos(kx)\Bigr)^2+\Big(\sin(2kL-kx)+\sin(kx)\Bigr)^2}}*\cos(wt) $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle

Valeurs attribuées pour le régime de houle :

$ H_0=2 m $

$ T=2 s $

$ c=4.43 m.s^{-1} $

$ k=0.709 m^{-1} $

$ L=5m $

Cas n°3 : Domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond constante

Résolution : Méthode Analytique

Berkhoff :

$ \frac{\partial}{\partial x}(H\frac{\partial\phi}{\partial x})+k^2H\phi=0 $ Expression de la hauteur

$ H(x)=H_0-px $

$ k=k_0 $

On obtient :

$ (H_0-px)\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-p\frac{\partial\phi}{\partial x}+k_0^2(H_0-px)\phi(x) $

En réalisant le changement de variable suivant :$ X=H_0-px $

On obtient l'équation : $ p^2X\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+p^2X\frac{\partial\phi}{\partial X}+k_0^2X\phi(X)=0 $

En divisant par $ p^2 $ puis en multipliant par $ X $

On obtient l'équation de Bessel suivante :

$ X^2\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+X\frac{\partial\phi}{\partial X}+\Big(\frac{k_0}{p}\Bigr)^2X^2\phi(X)=0 $

La solution est de la forme :

$ \phi(X)=AJ_0(X)+BY_0(X) $ avec $ J_0(X)=\sqrt{\frac{2}{\pi X}}\cos(X-\frac{\pi}{4}) $ et $ Y_0(X)=\sqrt{\frac{2}{\pi X}}\sin(X-\frac{\pi}{4}) $

c'est à dire : $ J_0(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi (H_0-px)}}\cos(H_0-px-\frac{\pi}{4}) $ et $ Y_0(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi(H_0-px)}}\sin(H_0-px-\frac{\pi}{4}) $

Avec les conditions initiales, on exprime les constantes A et B :

$ \phi(0)=1 $ et $ \frac{\partial\phi}{\partial_x}(x=L)=ik\phi(L) $

Expression de la hauteur : $ H= \frac{Re(\phi)}{|\phi|} $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle

Cas n°4 : Domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond exponentielle et sortie libre amont

Résolution : Méthode analytique

Expression de la hauteur

$ H(x)=H_0\mathrm{e}^x $

L'équation de Berkhoff devient : $ H_0\mathrm{e}^x\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+H_0\mathrm{e}^x\frac{\partial\phi}{\partial X}+k_0^2H_0\mathrm{e}^x\phi=0 $

On effectue le changement de variable suivant : $ X=H_0\mathrm{e}^x $

On obtient l'équation :$ X^3\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2}+X^2\frac{\partial\phi}{\partial X}+k_0^2X\phi(X)=0 $

Les solutions sont de la forme : $ \phi(X)=c_1\cos(k_0\log(X))+c_2\sin(k_0\log(X)) $

c'est à dire : $ \phi(x)=c_1\cos(k_0\log(H_0\mathrm{e}^x))+c_2\sin(k_0\log(H_0\mathrm{e}^x)) $

Avec les conditions initiales, on exprime les constantes $ c_1 $ et $ c_2 $ :

$ \phi(0)=1 $ et $ \frac{\partial\phi}{\partial_x}(x=L)=ik\phi(L) $

Expression de la hauteur : $ H= \frac{Re(\phi)}{|\phi|} $

Résolution par la méthode homotopique

Représentation animée du modèle