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ABET / CASTELLAN / KERGOAT : Différence entre versions

De Wikibardig
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C’est dans ce climat d’incertitude et d’insécurité qu’évoluent les populations
 
C’est dans ce climat d’incertitude et d’insécurité qu’évoluent les populations
côtières, c’est à dire plus de 60 pourcents de la population mondiale. C’est
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cotières, c’est à dire plus de 60 pourcents de la population mondiale. C’est
 
pourquoi des outils mathématiques sont nécessaires pour prévoir l’impact des
 
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houles sur le littoral.
 
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On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel plat de longueur L avec
 
On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel plat de longueur L avec
une fréquence d’entrée au niveau de l’aval <math>\phi = 1</math> et une sortie libre au niveau
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une fréquence d’entrée au niveau de l’aval φ = 1 et une sortie libre au niveau
de l’amont avec <math>\phi_{x} = ik\phi</math> qui correspond à la condition de Robin
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de l’amont avec <math> \phi_{x} = ik\phi </math> qui correspond à la condition de Robin
  
  
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On souhaite résoudre l’équation du modèle de Berkhoff <math>\nabla.(CC_{g}\nabla\phi) + k^2\phi = 0</math>
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On souhaite résoudre l’équation du modèle de Berkhoff .(CCg ∇φ) + k2φ = 0
  
On pose une solution du potentiel <math>\phi = A\mathrm{e}^{ikx} + B\mathrm{e}^{-ikx}</math> et on résoud l’équation
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On pose une solution du potentiel φ = Ae^ikx + Be−ikx et on résoud l’équation
 
à l’aide des conditions aux limites
 
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- Condition 1 :  
 
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  <math>\phi(x=0)=1</math>
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  φ(x = 0) = 1
  
 
  φ(x = 0) = A + B = 1 ⇒  A = 1 − B
 
  φ(x = 0) = A + B = 1 ⇒  A = 1 − B
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  (1 − p)(φ0,xx + pφ1,xx) + p(φ0,xx + pφ1,xx + k2φ0) = 0
 
  (1 − p)(φ0,xx + pφ1,xx) + p(φ0,xx + pφ1,xx + k2φ0) = 0
  
On a vu à l’ordre 0 que φ0,xx = 0  
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On a vu à l’ordre 0 que <math> φ0,xx = 0 donc φ1,xx = −k2φ0 ⇒ φ1 = −k2 ∫ ∫ φ0dxdx + Ax + B <\math>
donc
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φ1,xx = −k2φ0 ⇒ φ1 = −k2 ∫ ∫ φ0dxdx + Ax + B
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Conditions aux limites
 
Conditions aux limites
  
  - φ0
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2,x = ikφL
 
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6 αx3 − k2( 1
 
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20 βx5 + 1
 
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24 x4)] + Ax
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24 x4)] + Ax <\math>
  
  
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On se place dans le cas d’un domaine monodimensionnel plat de longueur L
 
On se place dans le cas d’un domaine monodimensionnel plat de longueur L
 
avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence unitaire et une condition de flux
 
avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence unitaire et une condition de flux
aval φx = ik(2 − φ) et réflexion totale amont φx = 0.
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aval <math> φx = ik(2 − φ) et réflexion totale amont φx = 0 <\math>.
  
  
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Comme dans le cas n°1:  
 
Comme dans le cas n°1:  
On obtient
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On obtient <math> φ = Ae^ikx + Be^−ikxet <\math>on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites:
φ = Aeikx + Be−ikx
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et on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites:
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  - En aval:  
 
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φ(x = 0) = ik(2 − φ)  
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<math> φ(x = 0) = ik(2 − φ) ce qui nous donne φx(0) = ikA − ikB = ik(2 − A − B) ⇒ A = 1 <\math>
ce qui nous donne
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φx(0) = ikA − ikB = ik(2 − A − B) ⇒ A = 1
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  - En amont:  
 
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φx(x = L) = 0
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<math> φx(x = L) = 0 ce qui nous donne φx(L) = ikAeikL − ikBe−ikL = 0 ⇒ B = e2ikL <\math>
ce qui nous donne
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φx(L) = ikAeikL − ikBe−ikL = 0 ⇒ B = e2ikL
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  Finalement  
 
  Finalement  
φ(x) = eikL − eik(2L−x)  
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<math> φ(x) = eikL − eik(2L−x) ett h(x, t) = Re(φe−iωt) = −2sin(kL − ωt)sin(kL + kx) <\math>
Et
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h(x, t) = Re(φe−iωt) = −2sin(kL − ωt)sin(kL + kx)
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On a  
 
On a  
  φ0(x) = Ax + B et φ0,x = A
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  <math> \phi_0(x) = Ax+B et \phi_{0,x} = A
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Ce qui nous donne \phi_{0,x}^0 = A =ik(2-B et \phi_{0,x}^L = A = 0 </math>
  
Ce qui nous donne φ0
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  Donc <math> B = 2 \Rightarrow  \phi_0 = 2 </math>
0,x = A = ik(2 − B) et φL
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0,x = A = 0
+
 
+
  Donc B = 2 ⇒ φ0 = 2
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Version du 27 mars 2023 à 16:45

Sommaire

IMPACT DU CHANGEMENT CLIMATIQUE SUR LES COTES ET DANS LES ESTUAIRES

Contexte

”Environ 1 milliard de personnes pourraient vivre d’ici 2050 dans des zones côtières menacées par la montée des eaux et les épisodes de submersions marines lors des tempêtes” alertent les experts de l’ONU.

C’est dans ce climat d’incertitude et d’insécurité qu’évoluent les populations cotières, c’est à dire plus de 60 pourcents de la population mondiale. C’est pourquoi des outils mathématiques sont nécessaires pour prévoir l’impact des houles sur le littoral.


Etude des différents cas

Cas n°1

On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel plat de longueur L avec une fréquence d’entrée au niveau de l’aval φ = 1 et une sortie libre au niveau de l’amont avec $ \phi_{x} = ik\phi $ qui correspond à la condition de Robin


▷ Résolution Analytique ◁

On souhaite résoudre l’équation du modèle de Berkhoff ∇.(CCg ∇φ) + k2φ = 0

On pose une solution du potentiel φ = Ae^ikx + Be−ikx et on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites


- Condition 1 :

φ(x = 0) = 1
φ(x = 0) = A + B = 1 ⇒  A = 1 − B


- Condition 2 :

φx(L) = ikφ(L)
φx(L) = ikAeikL − ikBe−ikL = ik(AeikL + Be−ikL)


Il vient:

2ikBe−ikL ⇒ B = 0 ⇒  A = 1


Finalement

φ(x) = eikx = cos(kx) + isin(kx)

Ce qui nous donne:

h(x, t) = Re(φ(x)×e−iωt = cos(kx)cos(ωt)−sin(kx)cos(ωt) =cos(kx − ωt)


▷ Résolution par homotopie ◁

On reprend les mêmes conditions initiales mais cette fois ci on part de la relation d’homotopie (1 − p)φxx + p(φxx+k2φ) = 0


On introduit la décomposition de φ telle que:

φ(x, p) = φ0(x) + pφ1(x) + p2φ3(x) + p3φ3(x) + ...
φxx(x) = φ0,xx(x) + pφ1,xx(x) + p2φ2,xx(x) + p3φ3,xx(x) + ...


L’équation générale d’homotopie avec la décomposition s’écrit donc

(1-p)(φ0,xx(x)+pφ1,xx(x)+p2φ2,xx(x)+p3φ3,xx(x)+...)+p(φ0,xx(x)+pφ1,xx(x)+p2φ2,xx(x) + p3φ3,xx(x) + ... + k2 + φ0(x) + pφ1(x) + p2φ3(x) + p3φ3(x) + ...) = 0


  • Ordre 0


On reprend l’équation à l’ordre 0 telle que:

(1 − p)φ0,xx + pφ0,xx = 0 ⇒ φ0,xx = 0 → φ0 = Ax + B


Conditions aux limites

 - φ0:
0 = 1 = B
 - φL:
0,x = ikφL
0 = ik(AL + 1) = A ⇒ A = \frac{ik}{1−ikL}

On a donc

φ0(x) =  \frac{ik}{1−ikL} x + 1


  • Ordre 1


On reprend l’équation à l’ordre 1 telle que:

(1 − p)(φ0,xx + pφ1,xx) + p(φ0,xx + pφ1,xx + k2φ0) = 0

On a vu à l’ordre 0 que $ φ0,xx = 0 donc φ1,xx = −k2φ0 ⇒ φ1 = −k2 ∫ ∫ φ0dxdx + Ax + B <\math> Conditions aux limites - <math> φ0 2 = B <\math> - <math> φL 2,x = ikφL 2 φL 2,x = ik[−k2 ∫ ∫ (αx−k2(βx3 + 1 2 x2))dxdx+AL] = ik[−k2(α 1 6 L3 −k2(β 1 20 L5 + 1 24 L4 + AL)] φL 2,x = −k2[α 1 2 L2 − k2(β 1 4 L4 + 1 6 L3)] + A A = ik 1−ikL [−k2( 1 6 αL3 − k2( 1 20 βL5 + 1 24 L4) − 1 2 αL2 + k2(( 1 4 βL4 + 1 6 L3))] 2 φ2 = −k2[ 1 6 αx3 − k2( 1 20 βx5 + 1 24 x4)] + Ax <\math> ==== Cas n°2 ==== On se place dans le cas d’un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval <math> φx = ik(2 − φ) et réflexion totale amont φx = 0 <\math>. ===== ▷ Résolution Analytique ◁ ===== Comme dans le cas n°1: On obtient <math> φ = Ae^ikx + Be^−ikxet <\math>on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites: - En aval: <math> φ(x = 0) = ik(2 − φ) ce qui nous donne φx(0) = ikA − ikB = ik(2 − A − B) ⇒ A = 1 <\math> - En amont: <math> φx(x = L) = 0 ce qui nous donne φx(L) = ikAeikL − ikBe−ikL = 0 ⇒ B = e2ikL <\math> Finalement <math> φ(x) = eikL − eik(2L−x) ett h(x, t) = Re(φe−iωt) = −2sin(kL − ωt)sin(kL + kx) <\math> ===== ▷ Résolution par homotopie ◁ ===== * Ordre 0 On a <math> \phi_0(x) = Ax+B et \phi_{0,x} = A Ce qui nous donne \phi_{0,x}^0 = A =ik(2-B et \phi_{0,x}^L = A = 0 $

Donc $  B = 2 \Rightarrow  \phi_0 = 2  $
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