ABET / CASTELLAN / KERGOAT : Différence entre versions
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− | ”Environ 1 milliard de personnes pourraient vivre d’ici 2050 dans des zones | + | ”Environ 1 milliard de personnes pourraient vivre d’ici 2050 dans des zones côtières menacées par la montée des eaux et les épisodes de submersions marines lors des tempêtes” alertent les experts de l’ONU. |
− | côtières menacées par la montée des eaux et les épisodes de submersions marines | + | |
− | lors des tempêtes” alertent les experts de l’ONU. | + | |
− | C’est dans ce climat d’incertitude et d’insécurité qu’évoluent les populations | + | C’est dans ce climat d’incertitude et d’insécurité qu’évoluent les populations côtières, c’est à dire plus de 60 pourcents de la population mondiale. C’est pourquoi des outils mathématiques sont nécessaires pour prévoir l’impact des houles sur le littoral. |
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− | pourquoi des outils mathématiques sont nécessaires pour prévoir l’impact des | + | |
− | houles sur le littoral. | + | |
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− | On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel plat de longueur L avec | + | On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel plat de longueur L avec une fréquence d’entrée au niveau de l’aval φ = 1 et une sortie libre au niveau de l’amont avec <math>\phi_{x} = ik\phi </math> qui correspond à la condition de Robin |
− | une fréquence d’entrée au niveau de l’aval φ = 1 et une sortie libre au niveau | + | |
− | de l’amont avec <math> \phi_{x} = ik\phi </math> qui correspond à la condition de Robin | + | |
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− | On souhaite résoudre l’équation du modèle de Berkhoff | + | On souhaite résoudre l’équation du modèle de Berkhoff <math>\nabla.(CC_{g}\nabla\phi) + k^2\phi = 0</math> |
− | On pose une solution du potentiel | + | On pose une solution du potentiel <math>\phi = A\mathrm{e}^{ikx} + B\mathrm{e}^{-ikx}</math> et on résoud l’équation |
à l’aide des conditions aux limites | à l’aide des conditions aux limites | ||
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- Condition 1 : | - Condition 1 : | ||
− | + | <math>\phi(x=0)=1</math> | |
− | + | <math>\phi(x=0) = A + B = 1 \Rightarrow A = 1 - B</math> | |
- Condition 2 : | - Condition 2 : | ||
− | + | <math>\phi_x(L) = ik\phi(L)</math> | |
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+ | <math>\phi_x(L) = ikA\mathrm{e}^{ikL} - ikB\mathrm{e}^{-ikL} = ik(A\mathrm{e}^{ikL} + B\mathrm{e}^{-ikL})</math> | ||
Il vient: | Il vient: | ||
− | + | <math>2ikB\mathrm{e}^{-ikL} \Rightarrow B = 0 \Rightarrow A = 1</math> | |
Finalement | Finalement | ||
− | + | <math>\phi(x)={e}^{ikx} = cos(kx) + isin(kx)</math> | |
Ce qui nous donne: | Ce qui nous donne: | ||
− | + | <math>h(x,t) = Re(\phi(x)\times{e}^{-i \omega t} = cos(kx)cos(\omega t) - sin(kx) cos(\omega t) =cos(kx-\omega t)</math> | |
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On reprend les mêmes conditions initiales mais cette fois ci on part de la relation | On reprend les mêmes conditions initiales mais cette fois ci on part de la relation | ||
− | d’homotopie (1 | + | d’homotopie <math>(1-p) \phi_{xx} + p(\phi_{xx}+k^2\phi) = 0</math> |
On introduit la décomposition de φ telle que: | On introduit la décomposition de φ telle que: | ||
− | + | <math>\phi(x,p) = \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_3(x) + p^3\phi_3(x) + ...</math> | |
− | + | <math>\phi_{xx}(x) = \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ...</math> | |
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L’équation générale d’homotopie avec la décomposition s’écrit donc | L’équation générale d’homotopie avec la décomposition s’écrit donc | ||
− | + | <math>(1-p)(\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ...) + p ( \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ... + k^2 + \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_3(x) + p^3\phi_3(x) + ... ) = 0 </math> | |
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On reprend l’équation à l’ordre 0 telle que: | On reprend l’équation à l’ordre 0 telle que: | ||
− | + | <math>(1-p)\phi_{0,xx} + p\phi_{0,xx} = 0 \Rightarrow \phi_{0,xx} = 0 \Rightarrow \phi_0 = Ax + B </math> | |
Conditions aux limites | Conditions aux limites | ||
− | + | - <math>\phi_0^0 = 1 = B </math> | |
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− | + | - <math>\phi_{0,x}^L = ik\phi_{0}^L = ik(AL + 1) = A \Rightarrow A = \frac{ik}{1-ikL}</math> | |
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On a donc | On a donc | ||
− | + | <math>\phi_0 (x) = \frac{ik}{1-ikL} x + 1</math> | |
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On reprend l’équation à l’ordre 1 telle que: | On reprend l’équation à l’ordre 1 telle que: | ||
− | + | <math>(1-p)(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx}) + p(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + k^2\phi_0) = 0</math> | |
− | On a vu à l’ordre 0 que <math> | + | On a vu à l’ordre 0 que <math>\phi_{0,xx} = 0 donc \phi_{1,xx} = -k^2\phi_0 \Rightarrow \phi_1 = -k^2\int\int\phi_{0}dxdx +Ax + B</math> |
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Conditions aux limites | Conditions aux limites | ||
− | + | - <math>\phi_1^0 = 0 = B</math> | |
− | + | ||
− | - <math> | + | - <math>\phi_{1,x}^L = ik \phi_1^L</math> |
− | 2, | + | |
− | 2 | + | On obtient après calculs <math>\phi_1(x) = \frac {-k^2L(k^2L^2 + 3ikL - 3)}{(1-ikL)^2} x - k^2(\frac{ik}{6-ikL} x^3 + \frac{1}{2} x^2) </math> |
− | + | ||
− | 2,x = ik[ | + | |
− | 2 | + | |
− | 6 | + | * Ordre 2 |
− | 20 | + | |
− | 1 | + | Pour simplifier l'écriture on pose <math>\alpha = \frac {-k^2L(k^2L^2 + 3ikL - 3)}{(1-ikL)^2}</math> et <math>\beta = \frac{ik}{6-ikL}</math> |
− | 24 | + | |
− | + | On reprend l'équation générale à l'ordre 2 telle que <math>(1 - p)(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + p^2\phi_{2,xx}) + p(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + p^2\phi_{2,xx} + k^2\phi_0 + k^2p\phi_1 = 0</math> | |
− | 2,x = | + | |
− | 2 | + | Sachant que <math>\phi_{1,xx} = - k^2\phi_0 </math> et <math>\phi_{0,xx} = 0</math>, on obtient : |
− | 4 | + | |
− | 6 | + | <math>p(-k^2\phi_0 + p^2\phi_{2,xx}) + pk^2\phi_0 + p^2k^2\phi_1 = 0 \Rightarrow \phi_{2,xx} = - k^2\phi_1 \Rightarrow \phi_2 = -k^2 \int\int\phi_1dxdx + Ax + B </math> |
− | A = ik | + | |
− | + | Conditions aux limites | |
− | 6 | + | |
− | 20 | + | - <math>\phi_2^0 = B </math> |
− | 24 | + | - <math>\phi_{2,x}^L = ik\phi_2^L</math> |
− | 2 | + | <math>\phi_{2,x}^L = ik[-k^2\int\int(\alpha x - k^2(\beta x^3 + \frac{1}{2} x^2)) dx dx +AL] = ik [-k^2(\alpha \frac{1}{6} L^3 - k^2 ( \beta \frac{1}{20} L^5 + \frac{1}{24} L^4 + AL)]</math> |
− | 4 | + | <math>\phi_{2,x}^L = -k^2[\alpha \frac{1}{2} L^2 - k^2 ( \beta \frac{1}{4} L^4 + \frac{1}{6} L^3)] + A</math> |
− | 6 | + | |
− | + | <math>A = \frac{ik}{1-ikL}[-k^2(\frac{1}{6}\alpha L^3 - k^2(\frac{1}{20}\beta L^5 + \frac{1}{24} L^4) - \frac{1}{2}\alpha L^2 + k^2(\frac{1}{4}\beta L^4 + \frac{1}{6} L^3)] </math> | |
− | + | ||
− | 6 | + | <math>\phi_2 = -k^2 [ \frac{1}{6}\alpha x^3 - k^2(\frac{1}{20}\beta x^5 + \frac{1}{24} x^4)] + Ax</math> |
− | 20 | + | |
− | 24 | + | |
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− | On se place dans le cas d’un domaine monodimensionnel plat de longueur L | + | On se place dans le cas d’un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval <math>\phi_x=ik(2-\phi)</math> et réflexion totale amont <math>\phi_x=0</math>. |
− | avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence unitaire et une condition de flux | + | |
− | aval <math> | + | |
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Comme dans le cas n°1: | Comme dans le cas n°1: | ||
− | On obtient <math> | + | On obtient <math>\phi = A\mathrm{e}^{ikx} + B\mathrm{e}^{-ikx}</math>et on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites: |
− | + | - En aval: | |
− | <math> | + | <math>\phi(x=0) = ik(2-\phi)</math> ce qui nous donne <math>\phi_x (0) = ikA-ikB=ik(2-A-B) \Rightarrow A=1</math> |
− | + | - En amont: | |
− | <math> | + | <math>\phi_{x}(x=L)=0</math> ce qui nous donne <math>\phi_x (L) = ikA\mathrm{e}^{ikL} - ikB\mathrm{e}^{-ikL} = 0 \Rightarrow B = \mathrm{e}^{2ikL}</math> |
− | + | Finalement | |
− | <math> | + | <math>\phi(x) = \mathrm{e}^{ikL} - \mathrm{e}^{ik(2L-x)} </math> |
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* Ordre 0 | * Ordre 0 | ||
− | |||
On a | On a | ||
− | + | <math> \phi_0(x) = Ax+B </math>et <math>\phi_{0,x} = A </math> | |
− | + | Ce qui nous donne <math>\phi_{0,x}^0 = A =ik(2-B et \phi_{0,x}^L = A = 0 </math> | |
− | + | Donc <math> B = 2 \Rightarrow \phi_0 = 2 </math> |
Version du 27 mars 2023 à 19:47
Sommaire |
IMPACT DU CHANGEMENT CLIMATIQUE SUR LES COTES ET DANS LES ESTUAIRES
Contexte
”Environ 1 milliard de personnes pourraient vivre d’ici 2050 dans des zones côtières menacées par la montée des eaux et les épisodes de submersions marines lors des tempêtes” alertent les experts de l’ONU.
C’est dans ce climat d’incertitude et d’insécurité qu’évoluent les populations côtières, c’est à dire plus de 60 pourcents de la population mondiale. C’est pourquoi des outils mathématiques sont nécessaires pour prévoir l’impact des houles sur le littoral.
Etude des différents cas
Cas n°1
On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel plat de longueur L avec une fréquence d’entrée au niveau de l’aval φ = 1 et une sortie libre au niveau de l’amont avec $ \phi_{x} = ik\phi $ qui correspond à la condition de Robin
▷ Résolution Analytique ◁
On souhaite résoudre l’équation du modèle de Berkhoff $ \nabla.(CC_{g}\nabla\phi) + k^2\phi = 0 $
On pose une solution du potentiel $ \phi = A\mathrm{e}^{ikx} + B\mathrm{e}^{-ikx} $ et on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites
- Condition 1 :
$ \phi(x=0)=1 $
$ \phi(x=0) = A + B = 1 \Rightarrow A = 1 - B $
- Condition 2 :
$ \phi_x(L) = ik\phi(L) $
$ \phi_x(L) = ikA\mathrm{e}^{ikL} - ikB\mathrm{e}^{-ikL} = ik(A\mathrm{e}^{ikL} + B\mathrm{e}^{-ikL}) $
Il vient: $ 2ikB\mathrm{e}^{-ikL} \Rightarrow B = 0 \Rightarrow A = 1 $
Finalement
$ \phi(x)={e}^{ikx} = cos(kx) + isin(kx) $
Ce qui nous donne: $ h(x,t) = Re(\phi(x)\times{e}^{-i \omega t} = cos(kx)cos(\omega t) - sin(kx) cos(\omega t) =cos(kx-\omega t) $
▷ Résolution par homotopie ◁
On reprend les mêmes conditions initiales mais cette fois ci on part de la relation d’homotopie $ (1-p) \phi_{xx} + p(\phi_{xx}+k^2\phi) = 0 $
On introduit la décomposition de φ telle que:
$ \phi(x,p) = \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_3(x) + p^3\phi_3(x) + ... $
$ \phi_{xx}(x) = \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ... $
L’équation générale d’homotopie avec la décomposition s’écrit donc
$ (1-p)(\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ...) + p ( \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ... + k^2 + \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_3(x) + p^3\phi_3(x) + ... ) = 0 $
- Ordre 0
On reprend l’équation à l’ordre 0 telle que:
$ (1-p)\phi_{0,xx} + p\phi_{0,xx} = 0 \Rightarrow \phi_{0,xx} = 0 \Rightarrow \phi_0 = Ax + B $
Conditions aux limites
- $ \phi_0^0 = 1 = B $
- $ \phi_{0,x}^L = ik\phi_{0}^L = ik(AL + 1) = A \Rightarrow A = \frac{ik}{1-ikL} $ On a donc $ \phi_0 (x) = \frac{ik}{1-ikL} x + 1 $
- Ordre 1
On reprend l’équation à l’ordre 1 telle que:
$ (1-p)(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx}) + p(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + k^2\phi_0) = 0 $
On a vu à l’ordre 0 que $ \phi_{0,xx} = 0 donc \phi_{1,xx} = -k^2\phi_0 \Rightarrow \phi_1 = -k^2\int\int\phi_{0}dxdx +Ax + B $
Conditions aux limites
- $ \phi_1^0 = 0 = B $
- $ \phi_{1,x}^L = ik \phi_1^L $
On obtient après calculs $ \phi_1(x) = \frac {-k^2L(k^2L^2 + 3ikL - 3)}{(1-ikL)^2} x - k^2(\frac{ik}{6-ikL} x^3 + \frac{1}{2} x^2) $
- Ordre 2
Pour simplifier l'écriture on pose $ \alpha = \frac {-k^2L(k^2L^2 + 3ikL - 3)}{(1-ikL)^2} $ et $ \beta = \frac{ik}{6-ikL} $
On reprend l'équation générale à l'ordre 2 telle que $ (1 - p)(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + p^2\phi_{2,xx}) + p(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + p^2\phi_{2,xx} + k^2\phi_0 + k^2p\phi_1 = 0 $
Sachant que $ \phi_{1,xx} = - k^2\phi_0 $ et $ \phi_{0,xx} = 0 $, on obtient :
$ p(-k^2\phi_0 + p^2\phi_{2,xx}) + pk^2\phi_0 + p^2k^2\phi_1 = 0 \Rightarrow \phi_{2,xx} = - k^2\phi_1 \Rightarrow \phi_2 = -k^2 \int\int\phi_1dxdx + Ax + B $
Conditions aux limites
- $ \phi_2^0 = B $ - $ \phi_{2,x}^L = ik\phi_2^L $ $ \phi_{2,x}^L = ik[-k^2\int\int(\alpha x - k^2(\beta x^3 + \frac{1}{2} x^2)) dx dx +AL] = ik [-k^2(\alpha \frac{1}{6} L^3 - k^2 ( \beta \frac{1}{20} L^5 + \frac{1}{24} L^4 + AL)] $ $ \phi_{2,x}^L = -k^2[\alpha \frac{1}{2} L^2 - k^2 ( \beta \frac{1}{4} L^4 + \frac{1}{6} L^3)] + A $
$ A = \frac{ik}{1-ikL}[-k^2(\frac{1}{6}\alpha L^3 - k^2(\frac{1}{20}\beta L^5 + \frac{1}{24} L^4) - \frac{1}{2}\alpha L^2 + k^2(\frac{1}{4}\beta L^4 + \frac{1}{6} L^3)] $
$ \phi_2 = -k^2 [ \frac{1}{6}\alpha x^3 - k^2(\frac{1}{20}\beta x^5 + \frac{1}{24} x^4)] + Ax $
Cas n°2
On se place dans le cas d’un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval $ \phi_x=ik(2-\phi) $ et réflexion totale amont $ \phi_x=0 $.
▷ Résolution Analytique ◁
Comme dans le cas n°1: On obtient $ \phi = A\mathrm{e}^{ikx} + B\mathrm{e}^{-ikx} $et on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites:
- En aval:
$ \phi(x=0) = ik(2-\phi) $ ce qui nous donne $ \phi_x (0) = ikA-ikB=ik(2-A-B) \Rightarrow A=1 $
- En amont:
$ \phi_{x}(x=L)=0 $ ce qui nous donne $ \phi_x (L) = ikA\mathrm{e}^{ikL} - ikB\mathrm{e}^{-ikL} = 0 \Rightarrow B = \mathrm{e}^{2ikL} $
Finalement
$ \phi(x) = \mathrm{e}^{ikL} - \mathrm{e}^{ik(2L-x)} $
▷ Résolution par homotopie ◁
- Ordre 0
On a $ \phi_0(x) = Ax+B $et $ \phi_{0,x} = A $ Ce qui nous donne $ \phi_{0,x}^0 = A =ik(2-B et \phi_{0,x}^L = A = 0 $
Donc $ B = 2 \Rightarrow \phi_0 = 2 $