ABET / CASTELLAN / KERGOAT : Différence entre versions

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[modifier] IMPACT DU CHANGEMENT CLIMATIQUE SUR LES COTES ET DANS LES ESTUAIRES

[modifier] Contexte

”Environ 1 milliard de personnes pourraient vivre d’ici 2050 dans des zones côtières menacées par la montée des eaux et les épisodes de submersions marines lors des tempêtes” alertent les experts de l’ONU.

C’est dans ce climat d’incertitude et d’insécurité qu’évoluent les populations côtières, c’est à dire plus de 60 pourcents de la population mondiale. C’est pourquoi des outils mathématiques sont nécessaires pour prévoir l’impact des houles sur le littoral.

[modifier] Etude des différents cas

[modifier] Cas n°1

On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel plat de longueur L avec une fréquence d’entrée au niveau de l’aval φ = 1 et une sortie libre au niveau de l’amont avec $ \phi_{x} = ik\phi $ qui correspond à la condition de Robin

[modifier] ▷ Résolution Analytique ◁

On souhaite résoudre l’équation du modèle de Berkhoff $ \nabla.(CC_{g}\nabla\phi) + k^2\phi = 0 $

On pose une solution du potentiel $ \phi = A\mathrm{e}^{ikx} + B\mathrm{e}^{-ikx} $ et on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites

- Condition 1 :

$ \phi(x=0)=1 $

$ \phi(x=0) = A + B = 1 \Rightarrow A = 1 - B $

- Condition 2 :

$ \phi_x(L) = ik\phi(L) $

$ \phi_x(L) = ikA\mathrm{e}^{ikL} - ikB\mathrm{e}^{-ikL} = ik(A\mathrm{e}^{ikL} + B\mathrm{e}^{-ikL}) $

Il vient: $ 2ikB\mathrm{e}^{-ikL} \Rightarrow B = 0 \Rightarrow A = 1 $

Finalement $ \phi(x)={e}^{ikx} = cos(kx) + isin(kx) $

Ce qui nous donne: $ h(x,t) = Re(\phi(x))\times{e}^{-i \omega t} = cos(kx)cos(\omega t) - sin(kx) cos(\omega t) =cos(kx-\omega t) $

[modifier] ▷ Résolution par homotopie ◁

On reprend les mêmes conditions initiales mais cette fois ci on part de la relation d’homotopie $ (1-p) \phi_{xx} + p(\phi_{xx}+k^2\phi) = 0 $

On introduit la décomposition de φ telle que: $ \phi(x,p) = \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_3(x) + p^3\phi_3(x) + ... $

$ \phi_{xx}(x) = \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ... $

L’équation générale d’homotopie avec la décomposition s’écrit donc

$ (1-p)(\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ...) + p ( \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + ... + k^2 + \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_3(x) + p^3\phi_3(x) + ... ) = 0 $

• Ordre 0

On reprend l’équation à l’ordre 0 telle que: $ (1-p)\phi_{0,xx} + p\phi_{0,xx} = 0 \Rightarrow \phi_{0,xx} = 0 \Rightarrow \phi_0 = Ax + B $

Conditions aux limites

- $ \phi_0^0 = 1 = B $

- $ \phi_{0,x}^L = ik\phi_{0}^L = ik(AL + 1) = A \Rightarrow A = \frac{ik}{1-ikL} $ On a donc $ \phi_0 (x) = \frac{ik}{1-ikL} x + 1 $

• Ordre 1

On reprend l’équation à l’ordre 1 telle que:

$ (1-p)(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx}) + p(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + k^2\phi_0) = 0 $

On a vu à l’ordre 0 que $ \phi_{0,xx} = 0 donc \phi_{1,xx} = -k^2\phi_0 \Rightarrow \phi_1 = -k^2\int\int\phi_{0}dxdx +Ax + B $

Conditions aux limites

- $ \phi_1^0 = 0 = B $

- $ \phi_{1,x}^L = ik \phi_1^L $

On obtient après calculs $ \phi_1(x) = \frac {-k^2L(k^2L^2 + 3ikL - 3)}{(1-ikL)^2} x - k^2(\frac{ik}{6-ikL} x^3 + \frac{1}{2} x^2) $

• Ordre 2

Pour simplifier l'écriture on pose $ \alpha = \frac {-k^2L(k^2L^2 + 3ikL - 3)}{(1-ikL)^2} $ et $ \beta = \frac{ik}{6-ikL} $

On reprend l'équation générale à l'ordre 2 telle que $ (1 - p)(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + p^2\phi_{2,xx}) + p(\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + p^2\phi_{2,xx} + k^2\phi_0 + k^2p\phi_1 = 0 $

Sachant que $ \phi_{1,xx} = - k^2\phi_0 $ et $ \phi_{0,xx} = 0 $, on obtient :

$ p(-k^2\phi_0 + p^2\phi_{2,xx}) + pk^2\phi_0 + p^2k^2\phi_1 = 0 \Rightarrow \phi_{2,xx} = - k^2\phi_1 \Rightarrow \phi_2 = -k^2 \int\int\phi_1dxdx + Ax + B $

Conditions aux limites

- $ \phi_2^0 = B $ - $ \phi_{2,x}^L = ik\phi_2^L $ $ \phi_{2,x}^L = ik[-k^2\int\int(\alpha x - k^2(\beta x^3 + \frac{1}{2} x^2)) dx dx +AL] = ik [-k^2(\alpha \frac{1}{6} L^3 - k^2 ( \beta \frac{1}{20} L^5 + \frac{1}{24} L^4 + AL)] $ $ \phi_{2,x}^L = -k^2[\alpha \frac{1}{2} L^2 - k^2 ( \beta \frac{1}{4} L^4 + \frac{1}{6} L^3)] + A $

$ A = \frac{ik}{1-ikL}[-k^2(\frac{1}{6}\alpha L^3 - k^2(\frac{1}{20}\beta L^5 + \frac{1}{24} L^4) - \frac{1}{2}\alpha L^2 + k^2(\frac{1}{4}\beta L^4 + \frac{1}{6} L^3)] $

$ \phi_2 = -k^2 [ \frac{1}{6}\alpha x^3 - k^2(\frac{1}{20}\beta x^5 + \frac{1}{24} x^4)] + Ax $

[modifier] Cas n°2

On se place dans le cas d’un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval $ \phi_x=ik(2-\phi) $ et réflexion totale amont $ \phi_x=0 $.

[modifier] ▷ Résolution Analytique ◁

Comme dans le cas n°1: On obtient $ \phi = A\mathrm{e}^{ikx} + B\mathrm{e}^{-ikx} $et on résoud l’équation à l’aide des conditions aux limites:

- En aval: $ \phi(x=0) = ik(2-\phi) $ ce qui nous donne $ \phi_x (0) = ikA-ikB=ik(2-A-B) \Rightarrow A=1 $

- En amont: $ \phi_{x}(x=L) = 0 $ ce qui nous donne $ \phi_x (L) = ikA\mathrm{e}^{ikL} - ikB\mathrm{e}^{-ikL} = 0 \Rightarrow B = \mathrm{e}^{2ikL} $

Finalement $ \phi(x) = \mathrm{e}^{ikL} - \mathrm{e}^{ik(2L-x)} $

[modifier] ▷ Résolution par homotopie ◁

• Ordre 0

On a $ \phi_0(x) = Ax+B $ Ce qui nous donne $ \phi_{0,x}^0 = A =ik(2-B) $ et $ \phi_{0,x}^L = A = 0 $

Donc $ B = 2 \Rightarrow \phi_0 = 2 $

• Ordre 1

En partant de la relation d'homotopie on obtient comme pour le premier cas :

$ \phi_{1,xx} + k^2\phi_0 = 0 $ donc $ \phi_1 = -k^2\int\int\phi_{0}dxdx +Ax + B $

Soit $ \phi_{1} = -k^2x^2 + Ax + B et <math>\phi_{1,x} = -2xk^2 + A $

Conditions aux limites

- $ \phi_{1,x}^0 = ik(2 - \phi_1^0) = ik(2 - B) = A \Rightarrow B = 2 - \frac{A}{ik} $ - $ \phi_{1,x}^L = 0 = -2Lk^2 + A \Rightarrow A = 2Lk^2 $

Donc B = 2(1 + iLk)

Au final $ \phi_1 = - k^2x^2 + 2xLk^2 + 2(1 + ikL) $

• Ordre 2

Ici $ \phi_{2,xx} + k^2\phi_0 = 0 \Rightarrow \phi_2 = -k^2\int\int\phi_{0}dxdx +Ax + B = -k^2 ( -k^2\frac{x^4}{12} + Lk^2\frac{x^3}{3} + ikLx^2 ) + Ax + B $ $ \phi_{2,x} = -k^2\int\phi{1}dx + A = -k^2 ( -k^2\frac{x^3}{3} + Lk^2\frac{x^2}{3} + 2ikLx ) + A $

Conditions aux limites

- $ \phi{2,x}^0 = A = ik(2 - \phi^0) = ik ( 2 - B ) \Rightarrow B = 2 - \frac{A}{ik} $ - $ \phi{2,x}^L = 0 \Rightarrow A = -k^2 ( -k^2\frac{L^3}{3} + k^2\frac{L^3}{3} + 2ikL^2 ) \Rightarrow A = -2ik^{2}L^2 $

Donc B = 2 ( 1 - kL^2 )

Au final, on a $ \phi_2 = -k^2 ( -k^2\frac{x^4}{12} + Lk^2\frac{x^3}{3} + ikLx^2 ) + -2ik^{2}L^{2}x + B = 2 ( 1 - kL^2 ) $

[modifier] Cas n°3

On se place dans le cas d’un canal monodimensionnel de longueur L avec une pente de fond constante (s=constante) avec entrée par l’aval d’une onde de fréquence $ \phi = 1 $ et sortie libre en amont $ \phi_{x} = ik\phi $

[modifier] ▷ Résolution Analytique ◁

On part de l’équation de Berkhoff en considérant qu’on se trouve en petite profondeur soit $ \nabla.(CC_{g}\nabla\phi) + k^2\phi = 0 $ avec $ C = C_{g} =\sqrt{gH} $ non constantes

• Cas 1 $ k = k_{0}\sqrt\frac{H_{0}}{H(x)} $

$ \nabla.(gH\nabla\phi) = gH \frac{\partial^2\phi}{\partial^2x} - g\frac{\partial{H}}{\partial{x}} \frac{\partial\phi}{\partial{x}} $

On injecte dans l’équation de Berkhoff, on divise l’équation par g et on pose le changement de variable $ H(x) = z = H_0 - sx \Rightarrow \frac{\partial{H}}{\partial{x}} = -s \frac{\partial{H}}{\partial{z}} $ pour obtenir $ H \frac{\partial^2\phi}{\partial^2{x}} - s\frac{\partial\phi}{\partial{x}} + k^{2}H\phi = 0 $

En prenant en compte la condition sur k, on obtient $ (H_{0} - sx) \frac{\partial^2\phi}{\partial^2{x}} - s\frac{\partial\phi}{\partial{x}} + k_{0}^{2}H_{0}\phi = 0 $

On note que $ \frac{\partial\phi}{\partial{x}} = - s \frac{\partial\phi}{\partial{z}} et \frac{\partial^2\phi}{\partial^2{x}} = s_{2} \frac{\partial^2\phi}{\partial^2{z}} $

Soit en multipliant par $ z $ et en divisant par $ s^2 $ l’équation devient $ z_{2}\frac{\partial^2\phi}{\partial^2{z}} + z\frac{\partial\phi}{\partial{z}} + \frac{k_{0}^{2}}{s^{2}}zH_{0}\phi $ que l’on peut associer à une équation de Bessel, il faut poser $ \alpha^{2} = \frac{k_{0}^{2} H_{0}}{s^2} $ on obtient $ z^{2}\phi_{zz} + z\phi_z + \alpha^{2}z\phi = 0 $

On pose $ A $ et $ B $ deux constantes et $ J_0 $ et $ Y_0 $ des fonction de Bessel respectivement de première et de deuxième espèce d’ordre 0. On pose alors la solution $ \phi(z) = A J_{0}(2\alpha\sqrt{z}) + B Y_{0}(2\alpha\sqrt{z}) $

- En aval $ \phi(x=0) = \phi(z=H_{0}) = AJ_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}} + BJ_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}} = 1 $

- En amont $ \phi_{x}{x=L} = -s \phi_{z}(z=H_{0}-sL=z_{L}) = ik\phi(z=H_{0}-sL) \Rightarrow \phi_z^{z_{L}} = \frac{ik}{s} (AJ_{0}(2\alpha\sqrt{z_{L}}) + AY_{0}(2\alpha\sqrt{z_{L}}) = \frac{\alpha}{\sqrt{z_{L}}} AJ_{1}(2\alpha\sqrt{z_{L}}) + AY_{1}(2\alpha\sqrt{z_{L}}) \Rightarrow i( (AJ_{0}(2\alpha\sqrt{z_{L}}) + AY_{0}(2\alpha\sqrt{z_{L}})) = AJ_{1}(2\alpha\sqrt{z_{L}}) + AY_{1}(2\alpha\sqrt{z_{L}}) $

• Cas 2

[modifier] ▷ Résolution par homotopie ◁

• Ordre 0