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Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/Emeline/Jallet : Différence entre versions
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Version du 5 mars 2023 à 21:43
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Vous voici rendu dans votre espace.
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Ce n'est pas une Mission Impossible, mais vous pouvez effacer cette introduction après lecture
Jean-Michel Tanguy
Sommaire |
Modèle de Berkhoff
La houle peut être modélisée par l'équation aux dérivées partielles (EDP) issue du modèle de Berkhoff suivante :
$ \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 $
Avec : $ \phi $ : le potentiel, k : le nombre d’onde, fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $, C : la célérité de l’onde, Cg : la célérité de groupe des vagues.
Résolution
Pour résoudre cette équation, nous utiliserons une méthode analytique lorsque cela sera possible et une méthode par homotopie. Nous nous placerons dans différent cas pour résoudre cette équation.
Cas N°1
Pour ce premier cas, nous étudierons le cas d'un canal monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire $ \phi=1 $(condition de Dirichlet) et sortie libre amont $ \phi_{x}=ik\phi $ (condition de Robin).
- Méthode analytique
Dans cette situation l'équation issue du modèle de Berkhoff s'écrit : $ \phi_{xx} + k^2\phi=0 $.
Soit $ \phi(x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx} $ , A et B sont des constantes à déterminer avec les conditions initiales.
En aval pour x=0, $ \phi=1 $ donc $ A + B = 1 $
En amont pour x = L, $ \phi_{x}(L)=ik\phi{L} $
Donc $ ikAe^{ikL} - ikBe^{-ikL} = ik(Ae^{ikL} + Be^{-ikL}) $.
Ainsi A = 1 et B = 0
La solution analytique de cette équation est donc $ \phi(x)=e^{ikx} $
- Méthode par homotopie
Cas N°2
Dans ce cas, nous nous placerons dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval $ \phi_{x} =ik(2−ϕ) $ et réflexion totale amont $ \phi_{x}=0 $.
- Méthode analytique
- Méthode par homotopie
