Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/A16 : Différence entre versions

Version du 14 juin 2023 à 10:15

Contexte et enjeux climatiques

♦ Enjeux climatiques et socio-économiques

Le dérèglement climatique constitue un enjeu majeur socio-économique et environnemental dans les années à venir. En effet, le Groupement Intergouvernemental d’Études sur le Climat (GIEC) propose des projections climatiques selon différents taux de rejets de gaz à effet de serre dans l’atmosphère.

En particulier, ce sont les hydro-systèmes qui sont touchés et placés sous forçage climatique résultant en une augmentation du niveau des eaux. En prenant l’exemple de l’estuaire de la Seine, les prévisions liées au changement climatique supposent une hausse des températures et du niveau marin, ainsi qu’une diminution des précipitations, du débit, de la recharge annuelle des aquifères et du niveau piézométrique. Ces modifications drastiques représentent un danger pour les populations et infrastructures situées aux abords des côtes, cette étude sera portée sur l’impact du changement climatique sur les côtes et dans les estuaires, notamment la modification du trait de côte qui entraînerait une redistribution de l’énergie hydraulique dans les estuaires.

C’est dans cette dimension de transition écologique que les bureaux d’études cherchent à intégrer l’adaptation au changement climatique dans leurs actions et leurs projets. Pour ce faire, on remarque la nécessité de travailler non seulement à grande échelle, mais également avec des outils numériques d'exécution rapide et précise, afin de préciser les impacts et d’en trouver plus facilement des solutions.

♦ L’influence de la houle sur les côtes et dans les estuaires : le phénomène ondulatoire

L'étude que nous réalisons se concentre sur la forme et l'intensité de la houle à son arrivée dans les estuaires et près des côtes. Ces caractéristiques sont influencées majoritairement par les profondeurs marines locales, ainsi que la pente que ces dernières réalisent.

Le modèle de Berkhoff permet de représenter les phénomènes de réfraction des fonds, le shoaling (modification de la hauteur des vagues en fonction de la profondeur), ainsi que la diffraction et la réflexion dû aux infrastructures côtières (digues, jetées…), mais aussi au déferlement. Ces phénomènes sont expliqués dans le paragraphe suivant.

♦ Phénomènes caractéristiques du modèle ondulatoire

La réfraction de la houle est observée à la suite d'une diminution de la profondeur du fond marin, généralement observée à l'arrivée de la vague près des côtes. Cette diminution du niveau de l'eau entraîne à fortiori une diminution de la longueur de l'onde de la vague et par conséquent, modifie l'amplitude de la houle sur son trajet. L'observation qui s'en suit est alors une modification de la vitesse de la vague, conjointe à un remaniement de vitesse.

La réflexion de la houle, à contrario de la réfraction, comprend en plus le passage de l'onde sur le relief marin tel que les talus immergés et les discontinuités en profondeur. La réflexion correspond donc à l'étude du retour d'une onde après sa rencontre avec un obstacle. La propagation de l'onde résultante du choc admet une amplitude inférieure à celle frappant l'obstacle, mais aussi à un déphasage de l'onde.

La diffraction apparaît lorsque que l'onde marine incidente fait face à un gradient d'amplitude d'onde, c'est-à-dire un obstacle tel qu'une digue ou un épi. La houle en ressort affaiblie, et son amplitude décroît. La différence d'amplitude résultante entraîne alors un déplacement d'énergie transversal (dans le sens décroissant des amplitudes). La diffraction d'une onde contribue donc à diminuer la concentration d'énergie.

Le shoaling est un phénomène observé avec la remontée des fonds marins. La longueur d'onde de l'onde diminue alors, laissant place à une augmentation de la hauteur de vague, puisque la quantité d'énergie se conserve et qu'une réduction de la vitesse de groupe est observée : la densité énergétique est plus importante, et est compensée par une augmentation de taille de vague.

Pour finir, le dernier phénomène caractéristique du modèle ondulatoire associée aux vagues marines est le déferlement. Lorsque l'une vague arrive sur une côte, elle se retrouve freinée dans son élan. À leur arrivée sur la rive, les vagues rejoignent donc les anciennes alors moins rapide, ce qui se traduit par un état instable : on observe alors un déferlement. Le déferlement se traduit alors, pour les plus grandes vagues, par une bulle d’air emprisonnée sous l’écume, et pour des vagues plus courtes, on observe un bourrelet turbulent.

Outils de calculs

Modèle de Berkhoff

Obtenue en 1972, l’équation de Berkhoff reprend les effets associés de la réfraction, diffraction et réflexion, phénomènes que l’on retrouve lors de l’étude de la houle et des vagues. Afin de respecter les hypothèses du modèle de Berkhoff, il faut se placer dans un contexte de houle de faible portée, ainsi que négliger l’inclinaison du sol marin.

Le modèle de Berkhoff a pour expression :

$ \nabla\cdot(CC{_g}\nabla\phi_{x})+{k^2}CC{_g}\phi_{x} = 0 $

où :

$ \phi $ est le potentiel, k est le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $, C la célérité de l'onde étudiée, et $ C{_g} $ la célérité de groupe des vagues.

On retrouve la relation implicite entre la fréquence, la profondeur et le nombre d'onde ci-dessous  :

$ \omega{^2} = g \cdot k \cdot tanh(k \cdot H) $

Afin de simplifier le problème, on se place dans le cadre des ondes longues, c'est-à-dire que la relation :$ C = C{_g} = $

Résolution par homotopie

Utilisée pour la résolution de systèmes non linéaires, la méthode par homotopie est un concept de topologie et de géométrie différentielle permettant de simplifier des problèmes complexes par l'introduction d'un paramètre p, compris entre 0 et 1, et donc de modéliser la déformation continue d'un objet à un autre.

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:
$ (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+{k^2}\phi)=0 $

En injectant la décomposition en série entière $ \phi(x,p)=\phi_{0}(x)+p\phi_{1}(x)+{p^2}\phi_{2}(x)+{p^3}\phi_{3}(x)+... $
Et sa seconde dérivée:
$ \phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+{p^2}\phi_{2,xx}(x)+{p^3}\phi_{3,xx}(x)+... $
Nous obtenons:

$ (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+{p^2}\phi_{2,xx}(x)+{p^3}\phi_{3,xx}(x)+...)+p(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+{p^2}\phi_{2,xx}(x)+{p^3}\phi_{3,xx}(x)+...+{k^2}(\phi_{0}(x)+p\phi_{1}(x)+{p^2}\phi_{2}(x)+{p^3}\phi_{3}(x)+...))=0 $

Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.

Cas n°1 : Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont

Solution analytique

Dans ce premier cas, nous travaillons avec un canal monodimensionnel plat de longueur L. Nous avons en paramètres deux conditions aux limites :

• Condition de Dirichlet : On modélise en entrée une onde de fréquence unitaire $ \phi = 1 $
  
• Condition de Robin : On modélise la sortie libre à l'amont $ \phi_{x} =ik\phi $
  

Nous utilisons alors l'équation de Berkhoff :

$ \nabla {.} (CC_g\nabla\phi_{x}) + k^2CC_g\phi_{x}= 0 $

Or, nous savons que nous travaillons en petite profondeur donc $ C=C_g = \sqrt{gH} $
En divisant par cela, nous obtenons l'équation suivante :

$ \nabla {.} (\nabla\phi_{x}) + k^2\phi_{x}= 0 $

Finalement, nous cherchons à résoudre l'équation suivante :

$ \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} \label{eq:1} $

Nous reconnaissons une équation différentielle d'ordre 2. Nous devons chercher simplement les solutions de l'équation homogène car l'équation est égale à 0. Pour ce faire, nous introduisons l'équation caractéristique suivante :

$ r^2+k^2= 0 $

Nous calculons alors le discriminant :

$ \Delta = -4*k^2 $

Nous sommes un présence d'un discriminant inférieur à 0, il a donc deux racines complexes que sont :

$ r=\pm{ik} $

Donc la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.
D'après les conditions aux limites, $ \phi_(x=0)= 1 $

soit $ A+B = 1 $

De plus, nous avons $ \phi_x(x=L)={A}e^{ikL}+{B}e^{-ikL}=ik\phi(x=L) $ $ \iff {ikA}e^{ikL}-{ikB}e^{-ikL} = {ik}({A}e^{ikx} + {B}e^{-ikx}) $
Nous obtenons ainsi $ A = 1 et B=0 $

Donc $ \phi(x)=e^{ikx} $

Or, l'évolution dans le temps de la hauteur de la houle correspond à $ h(x,t) = \Re\left(\phi e^{-i\omega t}\right) $.
En remplaçant $ \phi $ trouvé précédemment : $ h(x,t)=\Re\left(e^{i(kx-\omega t)}\right) $.
On a donc :

$ \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=\cos(kx-wt)} $

Solution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:
$ (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+{p^2}\phi_{2,xx}(x)+{p^3}\phi_{3,xx}(x)+...)+p(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+{p^2}\phi_{2,xx}(x)+{p^3}\phi_{3,xx}(x)+...+{k^2}(\phi_{0}(x)+p\phi_{1}(x)+{p^2}\phi_{2}(x)+{p^3}\phi_{3}(x)+...))=0 $

A l'ordre 0 :

$ \phi_{0,xx}=0 => \phi_{0}=Ax+B $
Les conditions aux limites donnent : $ \left\{ \begin{array}{r c l} \phi_{0}^0 = 1 \\ \phi_{0,x}^L = ik\phi_{0}^L \\ \end{array} \right. $
On a alors $ ik(AL+1)=A => A=\frac{ik}{1-ikL} $
Et B = 1

Donc finalement :

$ \boxed{\phi_{0} = \frac{ik}{1-ikL}x+1} $

A l'ordre 1 :
$ \phi_{0,xx}=0 => \phi_{1,xx}+k^2\phi_{0}=0 $
$ => \phi_{1}=-k^2\int\int\phi_{0}dxdx + Ax +B $
Les conditions aux limites donnent : $ \left\{ \begin{array}{r c l} \phi_{1}^0 =B= 0 \\ \phi_{1,x}^L = ik\phi_{1}^L \\ \end{array} \right. $
On trouve finalement :

$ \boxed{\phi_{1}=-\frac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3}{(1-ikL)^2}x-k^2(\frac{ik}{6-ikL}x^3+\frac{x^2}{2})} $

Cas n°2: Domaine monodimensionnel plat

Dans ce cas, nous sommes à nouveau dans le cas d'un canal plat de longueur L. Cependant, nous avons des conditions aux limites différentes:
Les conditions aux limites sont:

• Une onde de fréquence unitaire <m
• Une réflexion totale en amont : $ \phi_{x}(x=L) = 0 $
  

Nous utilisons alors l'équation de Berkhoff :

$ \nabla {.} (CC_g\nabla\phi_{x}) + k^2CC_g\phi_{x}= 0 $

Or, nous savons que nous travaillons en petite profondeur donc $ CC_g = \sqrt{gH} $
En divisant par cela, nous obtenons l'équation suivante :

$ \nabla {.} (\nabla\phi_{x}) + k^2\phi_{x}= 0 $

Finalement, nous cherchons à résoudre l'équation suivante :

$ \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} $

Solution analytique

Nous reconnaissons une équation différentielle d'ordre 2. Nous devons chercher simplement les solutions de l'équation homogène car l'équation est égale à 0. Pour ce faire, nous introduisons l'équation caractéristique suivante :

$ r^{2}+k^{2}= 0 $

Nous calculons alors le discriminant :

$ \Delta = -4*k^2 $

Nous sommes en présence d'un discriminant inférieur à 0, il a donc deux racines complexes que sont :

$ r=\pm{ik} $

Donc la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.

D'après les conditions aux limites, nous avons :

• $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi(x=0) \Longleftrightarrow ikA + (-ikB) = ik(2-(A+B)) \Longleftrightarrow A=1 $
  
• $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow -ikAe^{-ikL}+ikBe^{ikL} = 0 \Longleftrightarrow B=e^{2ikL} $
  

Nous obtenons le potentiel complexe suivant :

$ {\phi(x)=e^{ikx}+e^{ik(2L-x)}} $

et donc:

$ \boxed{\phi(x,t)=e^{i(kx-wt)}+e^{i(k(2L-x)-wt)}} $

Nous avons donc :

$ \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=cos(kx-wt)+cos(k(2L-x)-wt)} $

Solution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:
Ordre 0 :
$ \phi_{0,xx}(x)=0 $ \Longleftrightarrow $ \phi_{0}(x)=Ax+B $
Introduisons les conditions aux limites suivantes:
$ \left\{ \begin{array}{r c l} \phi_{0,x}^0=A=ik(2-B) \\ \phi_{0,x}^L=A=0 \\ \end{array} \right. $
Il vient:

$ \boxed{ \phi_{0}=B=2} $

Ordre 1 :
La relation d'homotopie à l'ordre 1 est la suivante : $ \phi_{1,xx} - \phi_{0,xx} + \phi_{0,xx} + k^2 \phi_{0} = 0 $ soit $ \phi_{1}=-k^2\int\dotsi\phi_{0}dxdx+Ax+B $
Introduisons les conditions limites suivantes:
$ \left\{ \begin{array}{r c l} \phi_{1}^0=0 \\ \phi_{1,x}^L=ik\phi_{1}^L \\ \end{array} \right. $
Il vient:

$ \boxed{\phi{_1}=\frac{-k^2L(k^2L^2+3ikL-3)}{3(1−ikL)^2}x-k^2(\frac{ik}{(1-ikL)}x^3+\frac{1}{2}{x^2})} $

Cas n°3 : Domaine monodimensionnel avec pente de fond constante

Solution analytique

Dans ce cas, nous somme dans le cadre d'un domaine monodimensionnel de longueur L avec une pente de fond constante (s=cste). Les conditions aux limites sont:

• A l'aval, une onde de fréquence unitaire : $ phi = 1 $
• Une sortie libre en amont : $ \phi_{x} = ik\phi $
  

Cette fois-ci, la résolution de l'équation est plus délicate que précédemment. En effet, la profondeur n'est plus constante car il existe une pente. Nous avons donc $ H(x) = H_0 - sx $. Nous restons dans le cas de petite profondeur donc $ C=C_g=\sqrt{gH(x)} $.
Nous utilisons alors l'équation de Berkhoff :

$ \nabla {.} (CC_g\nabla\phi_{x}) + k^2CC_g\phi_{x}= 0 $

Nous remplaçons avec les données que nous avons évoqué précédemment. Nous obtenons :$ \nabla {.} (gH(x)\nabla\phi_{x}) + k^2gH(x)\phi_{x}= 0 $

Soit $ \displaystyle H(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k^2H(x)\phi = 0 $

En remplaçant H(x), nous obtenons :
$ \boxed{\displaystyle (H_0 - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k^2(H_0-sx) \phi = 0} $

Cas 1 : $ k=k_0=cste $

Nous partons de l'équation déterminée précédemment soit $ \boxed{\displaystyle (H_0 - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k^2(H_0-sx) \phi = 0} $
Or, $ k=k_0 $
d'où $ \displaystyle (H_0 - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k_0^2(H_0-sx) \phi = 0 $

Nous réalisons le changement de variable suivant $ z=H_0 - sx $. Or $ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \phi}{\partial x} = -s\phi_{z} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = s^2\phi_{zz} \end{array} \right. $

soit $ z^2s^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + zs^2\frac{\partial \phi}{\partial z} + k_0^2z^2\phi = 0 $
d'où $ z^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + z\frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{k_0^2z^2}{s^2)}\phi = 0 $

Nous pouvons reconnaître une équation de type Bessel : $ z^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + (2p+1)z \frac{\partial \phi}{\partial z} + (α^2 z^{2r} + β^2 ) \phi = 0 $

avec par identification : $ \left\{ \begin{array}{r c l} p=0 \\ β=0 \\ r = 1 \\ α = \frac{k_0}{s} \end{array} \right. $

La solution de cette équation est :$ \phi = z^{-p} \left( A J_{P/r} (\frac{α x^r}{r}) + B Y_{P/r} (\frac{α x^r}{r} ) \right) $

Avec $ P = \sqrt{p^2 + β^2} $, A et B des constantes à déterminer.

D'où $ \phi = A J_0(αx) + B Y_0(αx) $

Soit : $ \phi = A J_0(α(H-sx)) + B Y_0(α(H-sx)) $

Nous pouvons déterminer les constantes à l'aide des conditions aux limites qui sont :

• $ phi(0) = 1 $ soit $ x=0 $ donc $ z=H_0 $.
• $ \phi_{x}(x=L) = ik\phi(x=L) $
  

En $ x=L, nous avons z = H_0 - sL $,
$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = ik\phi \Leftrightarrow \frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{-ik_0 \phi}{s} $ avec $ J_0' = -J_1 Y_0' = -Y_1 $

Nous avons donc $ \phi_1 = \frac{\partial \phi}{\partial z} = -A α s J_1 (α(H-sx)) - B α s Y_1 (α(H-sx)) $

Alors $ \phi_1^L = -\frac{ik_0}{s}A J_0(α(H-sL)) - \frac{ik_0}{s}B Y_0(α(H-sL)) $

soit $   \phi_1^L = -A α s J_0(α(H-sL)) - B α s Y_0(α(H-sL)) $

Nous pouvons alors déterminer deux équations  :

• $ \phi_0 ^{0}=A J_0(H) + B Y_0(H) = 1 $
• Détermination de A et B :

D'après les résultats précédents et en posant $ \left\{ \begin{array}{ll} J_0 (αH)= J_0 ^0 \\ Y_0 (αH) = Y_0 ^0 \\ J_1 (α(H-sL)) = J_1 ^L \\ Y_1 (α(H-sL)) = Y_1 ^L \end{array} \right. $ on a :

$ \left\{ \begin{array}{ll} A J_0^0 + B Y_0^0 = 1 \color{blue}{\textrm{ (1) }} \\ A J_1 ^L + B Y_1 ^L = \frac{ik_0}{α s^2} (A J_0^L + B Y_0^L) \color{blue}{\textrm{ (2) }} \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} B J_0^L Y_0^0 - B J_0^0 Y_0^L = J_0^L - \frac{s^2 α}{ik_0}(A J_1^L J_0^0 + B J_0^0 Y_1^L) \textrm{ En faisant } J_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - J_0^0 \frac{s^2 α}{ik_0}} \\ A Y_0 ^L J_0^0 - A Y_0 ^0 J_0^L = Y_0^L -\frac{s^2 α}{ik_0} (A J_1^L Y_0^0 + B Y_1^L Y_0^0) \textrm{ En faisant } Y_0^L \color{blue}{\textrm{ (1) }} \color{black}{ - Y_0^0 \frac{s^2 α}{ik_0}} \end{array} \right. $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} A = \frac{1}{C_1} \left(Y_0^L - \frac{s^2 α}{ik_0} Y_1^L Y_0^0 J_0^L \times \frac{J_0^L}{J_0^L Y_0^0 - J_0^L Y_0^L + \frac{s^2 α}{ik_0} J_0^0 Y_1^L} \right)\\ B = \frac{1}{C_2} \left(J_0^L - \frac{s^2 α}{ik_0} J_1^L Y_0^0 \times \frac{Y_0^L}{Y_0^L J_0^0 - Y_0^0 J_0^L + \frac{s^2 α}{ik_0} Y_0^0 J_1^L} \right) \end{array} \right. } $

Avec $ \left\{ \begin{array}{ll} C_1 = Y_0^L J_0^0 - Y_0^0 J_0^L + \frac{s^2 α}{ik_0} J_1^L Y_0^0 -\left(\frac{s^2 α}{ik_0}\right)^2 \left(\frac{J_1^L Y_1^L \left(Y_0^0\right)^2}{J_0^L Y_0^0 - J_0^L Y_0^L + \frac{s^2 α}{ik_0} J_0^0 Y_1^L}\right)\\ C_2 = J_0^L Y_0^0 - J_0^0 Y_0^L + \frac{s^2 α}{ik_0} Y_1^L J_0^0 -\left(\frac{s^2 α}{ik_0}\right)^2 \left(\frac{Y_1^L Y_0^0}{Y_0^L J_0^0 - J_0^L Y_0^0 + \frac{s^2 α}{ik_0} Y_0^0 J_1^L}\right) \end{array} \right. $

Cas 2 : $ k(x) = ko\sqrt{\frac{Ho}{Ho-sx}} $

Nous reprenons l'équation déterminée dans la partie introductive soit $ (H_0 - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k^2(H_0-sx) \phi = 0 $
Nous remplaçons la valeur de k.
soit $ (H_0 - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k_0^2H_0\phi = 0 $
Nous effectuons le changement de variable suivant : $ z=H_0 - sx $
Or $ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \phi}{\partial x} = -s\phi_{z} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = s^2\phi_{zz} \end{array} \right. $

soit $ zs^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + s^2\frac{\partial \phi}{\partial z} + k_0^2H_0\phi = 0 $
Nous cherchons à trouver une équation de type Bessel soit : $ z\phi_{zz} + \phi_z + {\alpha}^{2}\phi = 0 $ En divisant par $ s^2 $, nous obtenons :
$ z\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{ko^2Ho}{s^2} \phi = 0 $

Par association, nous trouvons $ alpha^2 = \frac{ko^2Ho}{s^2} $ soit $ alpha = \frac{\sqrt{H_0}{k_0}}{s} $
.

Nous retrouvons alors une équation de Bessel : $ z\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + {\alpha}^{2}\phi = 0 $ avec $ alpha^2 = \frac{ko^2Ho}{s^2} $

La solution de cette équation est de la forme : $ \phi(z) = A J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z}) $
Avec:

• $ J_0 $ : fonction de Bessel de 1ère espèce à l’ordre 0
  
• $ Y_0 $ : fonction de Bessel de 2ème espèce
  
• A et B : des constantes à déterminer grâce aux conditions limites
  
  

Nous pouvons déterminer les constantes à l'aide des conditions aux limites qui sont :

• $ phi(0) = 1 $ soit $ x=0 $ donc $ z=H_0 $.
• $ \phi_{x}(x=L) = ik\phi(x=L) $
  

Cette deuxième condition doit être donnée avec le changement de variable : $ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = -s \frac{\partial \phi}{\partial z} $ donc $ \phi_x = -s\phi_z $
donc $ -s\phi_{z}(z_L) = ik\phi(z_L) $
soit $ \phi_{z}(z_L) = \frac{-i k^L}{s} \phi^{z_L} $

Ces deux conditions nous permettent de déterminer deux équations :

• $ \phi(x=0) = \phi(z=H_0) = A J_0 (2 \alpha \sqrt{H_0}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0}) = 1 $
• $ \frac{- \alpha}{\sqrt{z_L}} ( A J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L})) + B Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) = \frac{-i k_L}{s} (A J_0 (2 \alpha \sqrt{z_L} + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z_L})) $

$ \left\{ \begin{array}{ll} A J_0 (2 \alpha \sqrt{H_O}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0})=1 \\ \frac{-\sqrt{H_0}{k_0}}{s}{\sqrt{H_0-sL}} \left( A J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L})\right) = \frac{-i ko\sqrt{\frac{Ho}{Ho-sL}}}{s} \left (A J_0 (2 \alpha \sqrt{z_L} + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z_L})\right ) \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} A J_0 (2 \alpha \sqrt{H_O}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0}) = 1 \\ A J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L}) = i \left(A J_0 (2 \alpha \sqrt{z_L}) + B Y_0 (2 \alpha \sqrt{z_L})\right ) \end{array} \right. $

Nous posons :
$ \left\{ \begin{array}{ll} J_0 (2 \alpha \sqrt{H_0})=J_0^0 \\ Y_0 (2 \alpha \sqrt{H_0})=Y_0^0 \end{array} \right. $ et $ \left\{ \begin{array}{ll} J_1 (2 \alpha \sqrt{z_L})=J_1^L \\ Y_1 (2 \alpha \sqrt{z_L})=Y_1^L \end{array} \right. $

Nous en déduisons :
$ \left\{ \begin{array}{ll} AJ_0^0 + BY_0^0 = 1\\ AJ_1^L + BY_1^L = AJ_0^L + BY_0^L \end{array} \right. $

soit $ A = \frac{1-B Y_0^0 }{J_0^0} $
$ A(J_1^L - iJ_0^L)=B(iY_0^L-Y_1^L) $

Après calculs, nous trouvons alors :
$ \left\{ \begin{array}{ll} A = \frac{iY_0^L - Y_1^L}{J_0^0(iY_0^L - Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L-i J_0^L)} \\ B = \frac{J_1^L - i J_0^L}{J_0^0 (i Y_0^L-Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L - i J_0^L)} \end{array} \right. $

Nous pouvons alors donner la solution de l'équation de Bessel :
$ \phi(z)=\frac{iY_0^L - Y_1^L}{J_0^0(iY_0^L - Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L-i J_0^L)} J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + \frac{J_1^L - i J_0^L}{J_0^0 (i Y_0^L-Y_1^L) + Y_0^0 (J_1^L - i J_0^L)} Y_0 (2 \alpha \sqrt{z}) $

Solution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit :
$ (1-p)\phi_{xx}+p((H_{0}-sx)\phi_{xx}-s\phi_{x}+k_{0}^2H_{0}\phi))=0 $

A l'ordre 0 :
$ \phi_{0,xx}=0 => \phi_{0}=Ax+B $
Les conditions aux limites donnent : $ \left\{ \begin{array}{r c l} \phi_{0}^0 = 1 \\ \phi_{0,x}^L = ik\phi_{0}^L \\ \end{array} \right. $
On a alors $ ik(AL+1)=A => A=\frac{ik}{1-ikL} $
Et B = 1

A l'ordre 1 :
Comme $ \phi_{0,xx}=0 $
On a l'équation suivante : $ \phi_{1,xx}-s\phi_{0,x}+k_{0}^2H_{0}\phi_{0}=0 $
Ainsi on trouve $ \phi_{1} =s\frac{ik}{1-ikL}\frac{x^2}{2} -k_{0}^2H_{0}\frac{x^2}{2} -k_{0}^2H_{0}\frac{ik}{1-ikL}\frac{x^3}{6} +Ax+B $

Les conditions aux limites donnent : $ \left\{ \begin{array}{r c l} \phi_{1}^0 = B=0 \\ \phi_{1,x}^L = ik\phi_{1}^L \\ \end{array} \right. $
On trouve alors $ A=\frac{ikLs}{(1-ikL)^2}(\frac{ikL}{2}-1)+\frac{k_{0}^2H_{0}ik}{1-ikL}(1-\frac{ik}{2}+\frac{ikL}{2(1-ikL)}+\frac{k^2L^2}{6(1-ikL)}) $

Cas n°4: Vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale

Dans ce dernier cas, nous traitons le cas d'une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale. Nous traitons alors une surface libre dans une domaine infini en grande profondeur. De plus, la source ponctuelle est appliquée autour d'un cercle de rayon $ r_0 $ centré sur un domaine circulaire de rayon R qui laisse sortir librement cette onde en r=R. L'équation de Berkhoff se simplifie alors en équation de Helmholtz et s'exprime en coordonnées polaires avec les conditions suivantes:

$ \begin{cases} \Delta \phi + k^2\phi=0, \\ \phi^{r=r_0}=1, \\\phi_r^{r=R}=ik\phi^{r=R}. \end{cases} $

En coordonnées polaires, la relation ci-dessus s'écrit de manière simplifiée étant donné que le problème est caractérisé par une symétrie de révolution, donc est indépendant de $ \theta $.

$ \begin{cases} \phi_{rr}+\dfrac{1}{r}\phi_r + k^2\phi=0, \\ \phi^{r=r_0}=1, \\\phi_r^{r=R}=ik\phi^{r=R}. \end{cases} $ avec $ r_0=1m $, $ R=100m $ et $ k=0.1m^{-1} $.

Solution analytique

D'après les informations ci-dessus, nous devons résoudre une équation de Bessel soit : $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0 $ .

La solution se présente sous la forme générale suivante : $ \phi(r)=AJ_0(kr)+BY_0(kr) $
avec A et B des constantes à déterminer
$ J_0 $ : fonction de Bessel de première espèce
$ Y_0 $ : fonction de Bessel de seconde espèce

Nous pouvons déterminer les constantes à l'aide des conditions limites qui sont :

• $ \phi(r=r_0)=1 $
• $ \frac{\partial \phi}{\partial r}(r=R)=ik\phi(r=R) $
  

Ainsi, $ \begin{cases} \phi(r=r_0) = AJ_0(kr_0)+BY_0(kr_0) = 1, \\ \phi_r(r=R) = ik\phi(r=R) \end{cases} $
avec $ \phi(r=R) = A{J_0}(kR) + B{Y_0}(kR) $
$ \phi_r(r) = -kAJ_1(kr)-kBY_1(kr) $
d'où $ \phi_r(r=R) = -kAJ_1(kR)-kBY_1(kR) $

Nous avons donc $ \left\{ \begin{array}{ll} AJ_0(kr_0)+BY_0(kr_0) = 1 \\ -kAJ_1(kR)-kBY_1(kR) = ik(A{J_0}(kR) + B{Y_0}(kR) \end{array} \right. $

soit $ \left\{ \begin{array}{ll} B= \frac{1-AJ_0(kr_0)}{Y_0(kr_0)} \\ -AJ_1(kR)- \frac{1-AJ_0(kr_0)}{Y_0(kr_0)} Y_1(kR) = iAJ_0(kR)+iY_0(kR)\frac{1-AJ_0(kr_0)}{Y_0(kr_0)} \end{array} \right. $

Après calculs, nous obtenons :
$ A = \frac{Y_1(kR) + iY_0(kR)}{J_0(kr_0)(Y_1(kR) + iY_0(kR)) - Y_0(kr_0)(J_1(kR) + iJ_0(kR))} $ $ B = \frac{1-AJ_0(kr_0)}{Y_0(kr_0)} $

La solution de l'équation de Bessel s'écrit donc :
$ \phi(r)= \frac{Y_1(kR) + iY_0(kR)}{J_0(kr_0)(Y_1(kR) + iY_0(kR)) - Y_0(kr_0)(J_1(kR) + iJ_0(kR))}J_0(kr) + \frac{1-\frac{Y_1(kR) + iY_0(kR)}{J_0(kr_0)(Y_1(kR) + iY_0(kR)) - Y_0(kr_0)(J_1(kR) + iJ_0(kR))}}{Y_0(kr_0)} Y_0(kR) $

Solution par homotopie

On repart de notre équation : $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0 $ .
On a donc la nouvelle équation d'homotopie : $ (1-p)\phi_{rr}+p(\phi_{rr}r+\frac{1}{r}\phi_{r}+k^2\phi=0 $ .

A l'ordre 0 :
$ \phi_{0,rr}(r)=0 $ d'où $ \phi_{0}=Ar+B $ .

Introduisons les conditions aux limites suivantes:
$ \left\{ \begin{array}{r c l} \phi_{0}^(r_0) = Ar_0+B = 1 \\ \phi_{0,r}^R = A = ik\phi^R \\ \end{array} \right. $

On a donc $ \left\{ \begin{array}{r c l} A(1-ikR+ikr_{0})=ik \\ B=1-Ar_{0} \\ \end{array} \right. $

Ainsi : $ \left\{ \begin{array}{r c l} A=\frac{ik}{1+ik(r_{0}-R)} \\ B=\frac{1-ikR}{1+ik(r_{0}-R)} \\ \end{array} \right. $

Finalement

$ \boxed{\phi_{0} =\frac{ikr}{1+ik(r_0-R)}+\frac{1-ikR}{1+ik(r_{0}-R)}} $