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Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/Emeline/Jallet
Bonjour,
Vous voici rendu dans votre espace.
Nous vous recommandons de prendre en mains l'outil WIKHYDRO assez rapidement de manière à pouvoir commencer à écrire en LATEX, entrer des images et des vidéos.
Cette page fait partie intégrante du site du ministère de l'écologie. Elle est donc visible par tout internaute.Prenez-donc soin d'elle et faites en sorte qu'elle soit agréable à lire.
Vous trouverez un Tutoriel et un didacticiel LATEX
Ce n'est pas une Mission Impossible, mais vous pouvez effacer cette introduction après lecture
Jean-Michel Tanguy
Sommaire |
Modèle de Berkhoff
La houle peut être modélisée par l'équation aux dérivées partielles (EDP) issue du modèle de Berkhoff suivante :
$ \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 $
Avec : $ \phi $ : le potentiel, k : le nombre d’onde, fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $, C : la célérité de l’onde, Cg : la célérité de groupe des vagues.
Résolution
Pour résoudre cette équation, nous utiliserons une méthode analytique lorsque cela sera possible et une méthode par homotopie. Nous nous placerons dans différent cas pour résoudre cette équation.
Cas N°1
Pour ce premier cas, nous étudierons le cas d'un canal monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire $ \phi=1 $(condition de Dirichlet) et sortie libre amont $ \phi_{x}=ik\phi $ (condition de Robin).
- Méthode analytique
Dans cette situation l'équation issue du modèle de Berkhoff s'écrit : $ \phi_{xx} + k^2\phi=0 $.
Soit $ \phi(x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx} $ , A et B sont des constantes à déterminer avec les conditions initiales.
En aval pour x=0, $ \phi=1 $ donc $ A + B = 1 $
En amont pour x = L, $ \phi_{x}(L)=ik\phi{L} $
Donc $ ikAe^{ikL} - ikBe^{-ikL} = ik(Ae^{ikL} + Be^{-ikL}) $.
Ainsi A = 1 et B = 0
La solution analytique de cette équation est donc $ \phi(x)=e^{ikx} $
- Méthode par homotopie
En choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle, la relation d'homotopie devient :
$ (1-p)\phi_{xx}+ p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 $
Or
$ \phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+... $
Et $ \phi_{xx}=\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+... $
Donc en injectant ces deux expressions dans la relation d'homotopie on a :
$ (1- p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+...)]=0 $
Ordre 0 :
$ \phi_{xx}=0 $ donc $ \phi_{0,xx}(x)=0 $
En intégrant deux fois on a :
$ \phi_0(x)=Ax+B $
Avec pour conditions aux limites : $ \phi_0^0=1 $ et $ \phi_{0, x}^L={ik}\phi_0^L $ on a $ B=1 $ et $ A={ik}/{(1-ikL)} $
Détail pour trouver A: $ \phi_{0, x}^L={ik}\phi_0^L $ $ \iff A={ik}/{(AL+1)} $ $ \iff A={ik}/{(1-ikL)} $
Ainsi $ \phi_0(x)=({ik}/{(1-ikL)})x+1 $
Ordre 1 :
$ \phi_{1,xx}(x)={-k^2}\phi_0(x) $
donc par double intégration on a :
$ \phi_1(x) = -k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B $.
Avec pour conditions aux limites :
$ \phi_1^0=0 $ et $ \phi_{1, x}^L={ik}\phi_1^L $
on a $ B=0 $ et $ A={-k^2L(k^2L^2+3ikL-3)}/{3(1-ikL)^2} $
Calcul de A :
$ \phi_1(x)= -k^2(({ik}/({1-ikL})6)x^3+x^2/2+Ax $
en x=L:
$ \phi_{1, x}^L={ik}\phi_1^L $ $ \iff ikL^2/(1-ikL)^2+L+A=ik(ikL^3/((1-ikL)6)+L^2/2+AL) $
en isolant A dans l'équation on retrouve :
$ A={-k^2L(k^2L^2+3ikL-3)}/{3(1-ikL)^2} $
On a donc :
$ \phi_{1}(x)= -{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)}/{3(1-ikL)^2}x-k^2(({ik}/({6(1-ikL)}))x^3+({1}/{2})x^2) $
Ordre 2 :
A partir des valeurs numériques suivantes :
$ k={1}/ {100} $ (nombre d'onde en m-1)
$ H=40 $ (profondeur en m)
$ c=\sqrt{gH} $ (célérité de l'onde en m/s)
$ \lambda={2\pi}/{k} $ (longueur d'onde en m)
$ L=2\lambda $ (longueur du domaine en m).
suite à faire sur WXMAXIMA
Cas N°2
Dans ce cas, nous nous placerons dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval $ \phi_{x} =ik(2−ϕ) $ et réflexion totale amont $ \phi_{x}=0 $.
- Méthode analytique
- Méthode par homotopie
