Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2025

Fiche: impact du changement climatique sur les côtes

Proposée par Emmanuel Gourdon et Jean-Michel Tanguy

Contexte

Le changement climatique est devenu une préoccupation des citoyens du monde et un enjeu planétaire, imposant aux gouvernements d’intégrer la quantification de ses effets dans les politiques publiques. Plus particulièrement, l’exhaussement du niveau des océans constitue un enjeu majeur pour les populations situées le long des côtes. D’après l’OCDE « Il est désormais quasi certain que le niveau des mers augmentera d’au moins un mètre, et cette hausse pourrait même intervenir dans les 80 prochaines années selon certaines modélisations, avec à la clé des conséquences graves qui causeront des dommages aux infrastructures, la disparition de terres et des déplacements de populations ».

Le thème d’étude est la quantification de l’impact des houles sur le littoral. La probabilité de survenue d’événements extrêmes va considérablement augmenter et leurs impacts sur le littoral provoquer des désordres sur les secteurs les plus vulnérables entrainant le recul du trait de côte et la disparition de propriétés et d’ouvrages.

Afin de quantifier ces effets, les bureaux d’études ont besoin d’outils de simulation capables de travailler à grande échelle, rapides d’exécution et précis, qui permettent de dégrossir les problèmes et d’identifier des zones spécifiques où des outils de modélisation numériques beaucoup plus sophistiqués, et à faible résolution spatiale viendront préciser les impacts.

Le modèle le plus usité qui permet de modéliser les houles est le modèle de Berkhoff qui intègre la représentation des phénomènes de réfraction des fonds, le shoaling, la diffraction et la réflexion des structures côtières comme les digues ou les jetées [1].

Ce modèle est constitué d'une Equation aux Dérivéees Partielles (EDP).

Modèle de Berkhoff

Ce modèle a pour expression (en bi-dimensionnel):

$ \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 $

où $ \phi $ est le potentiel, k est le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence (T est la période) par la relation implicite $ \omega^2=gk \tanh(kH) $ , C est la célérité de l’onde, Cg est la célérité de groupe des vagues.

Pour simplifier le problème, nous nous placerons dans le domaine des ondes longues, ce qui signifie que $ C=C_g=\sqrt{gH} $:

Homotopie

Considérons l’équation différentielle suivante à résoudre :

$ L(u(x)=f(x)+N(u(x), x \in \Omega $

avec les conditions limites: $ B(u,u_n=0), x \in \Gamma $

où L est un opérateur linéaire, N un opérateur non-linéaire et f les termes complémentaires de l’équation.

L'homotopie de He est définie de la manière suivante :

$ (1-p)\left[ L(U(x,t);p)-L(u_0(x,t)) \right ] +cH(p)\left[ L(U(x,t);p)-N(U(x,t),p)-f(x) \right] $

où $ p \in \left[0,1\right] $ est un paramètre qui varie de 0 à 1, u0 est une estimation initiale de la solution.

Lorsque p=0 nous retrouvons la solution initiale U=u0 et lorsque p=1, nous retrouvons la solution exacte.

La transformation de p de 0 à 1 qui conduit U(x) de la solution estimée à la solution exacte provient de la transformation de U(x) en série de Taylor

$ U(x)=u_0(x)+\sum_{m=1}^\infty u_m(x)p^m $ avec $ u_m(x)=\dfrac{1}{m!}\dfrac{\partial^mU(x,t;p)}{\partial p^m}\Bigr]_{p=0} $

La mise en œuvre de l’homotopie nécessite de faire des hypothèses sur la fonction H(p) qui permet notamment un ajustement des non-linéarités. Pour la méthode HAM « Homotopie Analysis Method », que nous mettrons en œuvre: $ H(p)=p $.

Objectif des travaux

L’objectif du présent projet est de résoudre cette EDP par une méthode semi-analytique : l’homotopie, assortie des conditions limites et des conditions initiales ad-hoc fonction du domaine étudié et du régime de houle de projet.

L’intérêt de la méthode est qu’elle permet de partir d’une solution connue relativement simple et de converger vers une solution complète. L’idée maitresses est d’introduire un paramètre p qui varie entre 0 et 1 et d’assurer une déformation continue entre une première estimation de la solution relativement simple (p=0) et la valeur finale de la solution (p=1) du système d’équations à résoudre. L’un des grands intérêts de la méthode est qu’elle permet d’atteindre la solution finale avec peu de termes. Par ailleurs, elle utilise la résolution formelle et peut donc être facilement programmée à l’aide d’outils de calcul formel tels que WSMAXIMA que nous utiliserons ici.

Travaux demandés

Différents cas concrets de géométries et de conditions aux limites devront être étudiés :

Cas n°1

Domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire $ \phi=1 $ et sortie libre amont $ \phi_x=ik\phi $

Cas n°2

Domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire $ \phi=1 $ et réflexion totale amont $ \phi_x=0 $ On utilisera la méthode de l’image virtuelle (superposition onde incidente en provenance de l’aval et onde réfléchie en provenance de l’amont) sur la base du cas n°1.

Cas n°3

Domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond constante avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire $ \phi=1 $ sortie libre amont $ \phi_x=ik\phi $.

Nota : on représentera le terme de pente par un développement de Mac-Laurin en mettant en évidence la précision obtenue en fonction du nombre de terme pris en compte.

2 cas sont à étudier :

• Trinômes n°1 et 2 : on considèrera que $ k=k_0=cste $
• Trinômes n°3 et 4 : on considèrera que $ k=k_0\sqrt{\dfrac{H_0}{H(x)}} $

Dans chaque cas, on déterminera une solution analytique de l'équation de base transformée par changement de variable sous la forme d'une équation de type Bessel, puis on résoudra cette équation par la méthode d'homotopie.

Cas n°4

Domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond exponentielle et sortie libre amont

Cas n°5

Domaine bidimensionnel plat avec direction préférentielle des houles On reprendra le cas n°1 avec une formulation bidimensionnelle

Cas n°6

Domaine bidimensionnel avec bosse immergée parabolique sur le fond • On résoudra le problème en coordonnées polaires comme l’illlustre la solution analytique qui est donnée sur le site WIKHYDRO • On résoudra également le problème en coordonnées cartésiennes

Pour chaque cas ci-dessus, il conviendra de fournir :

1. La solution analytique
2. La solution par homotopie en la superposant avec la solution analytique sur la base de valeurs réalistes de domaines et de régimes de houle
3. Une étude de sensibilité suivant le paramètre le plus pertinent décrivant la solution
4. Une analyse des résultats et des limites du modèle

Plus globalement,

1. Le rapport sera publié sur le wiki du CEREMA : WIKHYDRO sous la forme d’une page wiki.
2. Une ou plusieurs vidéos à caractère pédagogique seront élaborées explicitant les fondements de la méthode homotopie, les résultats obtenus complétés par des propositions d’application de cette méthode dans le contexte du changement climatique.

Bibliographie

1. Panchang V.G., Cushman-Roisin B., Pearce B.R., “Combined Refraction-Diffraction of Short-Waves in Large Coastal Regions”, Coastal Eng., 12 (1988), 133-156
2. Biazar J. Azimi F., “He’s Homotopy Perturbation Method for Solving Helmholtz Equation”, Int. J. Cotemp. Math. Sciences, Vol. 3, 2008, n° 15, 739-744
3. Rajarama R., Hariharan G., “Solving Helmholtz equation by the homotopy perturbation method”, Int. Jour. of Math. and Computer Applications Research (IJMCAR) Vol. 2 Issue 3 Sept. 2012 70-75.
4. Biazar J., Eslami M., “A new technique for non-linear two-dimensionnal wave equations”, Sciencia Iranica B (2013) 20(2), 359-363
5. Chun C., Jafari H., Kim Y., “Numerical method for the wave and nonlinear diffusion equations with the homotopy perturbation method”, Comp. and Math. With Applications 57 (2009) 1126-1231
6. Prakash A., Goyal M., Gupta S., “Numerical simulation of space-fractional Helmholtz equation arising in seismic wave propagation, imaging and inversion, Pramana – J. Phys. (2019) 93:28
7. Jafari H. Momani S., 3Solving Fractional diffusion and wave equations by modified homotopy perturbation method”, Physics Letters A 370 (2007) 388-396
8. Yin X-B, Kumar S, Kumar D., “A modified homotopy analysis method for solution of fractional wave equations”, Advances in Mechanical Engineering 2015, Vol. 7(12) 1-8
9. Shijun Liao, “Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations”, Springer, 549 p

Quelques conseils

• Chaque trinôme dispose d'une page WIKHYDRO accessible avec les codes qui vont ont été fournis. Les noms des pages sont intiulés de la manière suivante:

• Trinôme n°1 : wikhydro.developpement-durable.gouv.fr/index.php?title=Utilisateur:Jean-Michel_Tanguy/SujetENTPE2020/

• WIKHYDRO dispose d'un https://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX (voir en bas à gauche de la page lorsque vous êtes loggés uniquement)