Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/BRETON-NGUYEN-SALLES

Notre travail a pour but de modéliser l'impact du changement climatique sur les côtes, en quantifiant l'impact des houles sur le littoral.

Pour modéliser les houles, nous utilisons le modèle de Berkhoff aussi appelé équation de pente douce, obtenu en 1972. Ce modèle est une équation aux dérivées partielles, que nous nous proposons de résoudre par une méthode analytique pour les cas simples et semi-analytique pour les cas plus complexes.

Nous nous placerons dans l'hypothèse d'ondes longues et nous étudierons différents cas concrets de géométries et de conditions aux limites.

Cas n°1

Cette situation traite un canal uniforme unidimensionnel plat de longueur L avec l'entrée d'une onde de fréquence unitaire $ ϕ=1 $ par l'aval et une sortie libre en amont $ ϕx=ikϕ $.

Dans ce cas précis, l'équation de Berkhoff se simplifie comme suit: $ \frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0 $

Solution analytique

Nous résolvons l'équation caractéristique associée : $ X^2 + k^2 = 0 $
$ Δ = -4k^2 $ d'où $ λ_1 = -ik $ et $ λ_2 = ik $
donc la solution est de la forme $ Ae^{-ikx}+ Be^{ikx} = 0 $, avec A et B des constantes.

Détermination des constantes A et B grâce aux conditions limites :

• $ ϕ(x=0)=1 $ → $ A+B=1 $
• $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=-ik $ → $ A=1 $ et $ B=0 $

donc $ ϕ(x)=e^{-ikx} $

Cas n°2

Nous étudions maintenant un canal uniforme unidimensionnel, avec une réflexion totale en amont $ ϕ_x=0 $ et une condition de flux aval $ ϕ_x=ik(2−ϕ) $

Comme dans le cas n°1, l'équation de Berkhoff se simplifie: $ \frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0 $

Solution analytique

L'équation caractéristique est la même que dans le cas n°1 : $ X^2 + k^2 = 0 $
La solution est de la forme $ Ae^{-ikx}+ Be^{ikx} = 0 $, avec A et B des constantes.

Détermination des constantes A et B grâce aux conditions limites :

• $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=ik(2-ϕ) $ → $ A=e^{2ikL} $
• $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=0 $ → $ B=1 $

donc $ ϕ(x)=e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} $

Solution semi-analytique (homotopie)

Le principe de la méthode d'homotopie sera expliqué dans une vidéo.

Dans ce cas précis, la relation d'homotopie s'exprime comme ceci (on choisit la dérivée seconde comme opérateur linéaire et on part d'une solution initiale nulle):
$ (1−p)ϕ_{xx}+p(ϕ_{xx}+k^2ϕ)=0 $
Or:

• $ \sum_{n=0}^∞ p^nϕ_n $ ie $ ϕ(x,p)=ϕ_0(x)+pϕ_1(x)+p^2ϕ_2(x)+p^3ϕ_3(x)+... $
• $ ϕ_{0,xx}(x)+pϕ_{1,xx}(x)+p^2ϕ_{2,xx}(x)+p^3ϕ_{3,xx}=(x)+... $

D'où : $ (1−p)(ϕ_{0,xx}(x)+pϕ_{1,xx}(x)+p^2ϕ_{2,xx}(x)+p^3ϕ_{3,xx}(x)+...)+p[ϕ_{0,xx}(x)+pϕ_{1,xx}(x)+p^2ϕ_{2,xx}(x)+p^3ϕ_{3,xx}(x)+...+k^2(ϕ_0(x)+pϕ_1(x)+p^2ϕ_2(x)+p^3ϕ_3(x)+...)]=0 $

Cas n°3

Nous cherchons à modéliser un canal uniforme unidimensionnel avec une pente de fond constante avec l'entrée d'une onde de fréquence unitaire par l'aval $ ϕ=1 $ et une sortie libre en amont $ ϕ_x=ikϕ $.

Cas n°5

Le dernier cas concret que nous traitons est un domaine bidimensionnel plat avec une direction préférentielle des houles.