Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/B03

Contexte

Aujourd’hui, les effets du changement climatique sont à l’origine de la dégradation des zones côtières. La fonte des glaciers et la dilatation thermique des océans provoquent l’augmentation du niveau de la mer, à laquelle cela s’ajoute des évènements climatiques extrêmes fréquents. Ces phénomènes sont responsables de l’érosion et de la submersion marine grandissantes qui menacent les infrastructures et les populations à proximité.

Le GIEC annonçait en septembre 2019, dans le Rapport Spécial sur l’Océan, la Cryosphère et les Changements Climatiques (SROCC), une hausse des océans de 40 cm d’ici 2100 dans un scénario optimiste, où le réchauffement global serait inférieur à 2°C. Alors que la trajectoire actuelle se situerait plutôt entre 3° et 4°C, on pourrait s’attendre à une augmentation de 80 cm du niveau de la mer. Celle-ci se poursuivrait au rythme de plusieurs centimètres par an tandis que la tendance actuelle est à quelques centimètre. D’après les experts, ce phénomène conduirait au déplacement de 280 millions de personnes.

Face à ce danger, adapter les territoires littoraux devient indispensable. Pour trouver des solutions adaptées, il est nécessaire de quantifier l’impact du changement climatique sur le littoral. Pour cela, nous nous intéresserons à l’influence de la houle qui constitue un des principaux agents de l’érosion côtière.

Présentation du projet

Dans ce projet, nous modélisons les mouvements de la houle grâce à l’Équation aux Dérivées Partielles (EDP), donnée par le modèle de Berkhoff, que nous résoudrons numériquement par la méthode de l’homotopie avec différentes conditions initiales.

Modèle de Berkhoff

Pour modéliser la houle, nous utilisons le modèle de Berkhoff qui a pour expression : $ \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 $

Avec : $ \phi $ : le potentiel, k : le nombre d’onde, fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $ par la relation $ \omega^2=gk \tanh(kH) $, C : la célérité de l’onde, Cg : la célérité de groupe des vagues.

Cette EDP modélise la réflexion des ondes et la réfraction ou la diffraction sur les digues.

Ce modèle est applicable lorsque les hypothèses suivantes sont vérifiées :

La relation entre le potentiel $ \phi $ et la hauteur de houle dans le temps $ h(x,t) $ est donnée par : $ h(x,t)=\Re \left (\phi e^{-i\omega t} \right ) $.

Pour simplifier le problème, nous nous placerons dans le domaine des ondes longues qui implique $ C=C_g=\sqrt{gH} $. L’équation de Berkhoff devient : $ \nabla \phi+k^2\phi=0 $.

Homotopie

À compléter

Cas 1 : Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont

Dans le cas n°1, nous considérons un canal monodimensionnel plat, de longueur L de conditions limites :

À l’aval, en x = 0 : Condition de Dirichet $ \phi(x=0)=1 $ En amont, en x = L : Condition de Robin $ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $

Résolution analytique

Résoudre l’équation du modèle de Berkhoff en 1D, $ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ revient à résoudre l’équation caractéristique suivante : $ r^2+k^2=0 $ Avec $ r=\pm{ik} $

D’où la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi(x=0)=A+B=1 $ $ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $ $ \iff {ikA}e^{ikL}-{ikB}e^{-ikL} = {ik}({A}e^{ikx} + {B}e^{-ikx}) $

Ce qui donne A = 1 et B = 0.

Donc le potentiel complexe vaut : $ \phi(x)=e^{ikx} $

Pour avoir la hauteur de la houle dans le temps, on utilise : $ h(x,t) = \Re\left(\phi e^{-i\omega t}\right) $. En remplaçant $ \phi $ trouvé précédemment : $ h(x,t)=\Re\left(e^{i(kx-\omega t)}\right) $.

$ {\color{green}h(x,t)=\cos(kx–\omega t)} $

Résolution par homotopie

En choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en prenant une solution initiale nulle, la relation d’homotopie est la suivante :

En injectant la décomposition en série entière de $ \phi(x, p) $ : $ \phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+... $ et sa seconde dérivée $ \phi_{0, xx}(x) $ : $ \phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+... $

On obtient : $ (1- p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 $

• "Ordre 0 :"

$ \phi_{0,xx}(x)=0 $ $ \iff \phi_0(x)=Ax+B $ par intégration.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_0^0=B=1 $ $ \phi_{0, x}^L=A={ik}\phi_0^L $ avec $ \phi_0^L=AL+1 $

Donc : $ {\color{green}\phi_{0}(x)=\left(\frac{ik}{1-ikL}\right){x}+1} $

• "Ordre 1 :"

$ \phi_{1,xx}(x)={-k^2}\phi_0(x) $ $ \iff \phi_1(x) = -k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B $.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_1^0=B=0 $ $ \phi_{1, x}^L=-k^2(\frac{ikL^2}{(1-ikL)2} + L)+A ={ik}\phi_1^L $ avec $ \phi_1^L=-k^2(\frac{ikL^3}{(1-ikL)6} + \frac{L^2}{2})+AL $

Donc : $ {\color{green}\phi_{1}(x)= - \frac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3}{3(1-ikL)^2}x-k^2\left(\frac{ik}{6(1-ikL)}x^3+\frac{1}{2}x^2\right)} $

• "Ordre 2 :"

On utilise les valeurs suivantes : $ k=\dfrac{1} {100} $ (nombre d'onde en m^-1), $ H=40 $ (profondeur en m), $ c=\sqrt{gH} $ (célérité de l'onde en m/s), $ \lambda=\dfrac{2\pi}{k} $ (longueur d'onde en m), $ L=2\lambda $ (longueur du domaine en m).

$ \phi_{2,xx}(x)={-k^2}\phi_1(x) $ $ \iff \phi_2(x) = -k^2\int\phi_1dxdx+Ax+B $.

Résolution par WXMAXIMA

Cas 2 : Canal monodimensionnel plat, avec une condition de flux en aval et une réflexion totale en amont

Dans le cas n°2, nous considérons un canal monodimensionnel plat, de longueur L de conditions limites :

À l’aval, en x = 0 : Condition de Robin $ \phi(x=0)=ik(2-\phi) $ En amont, en x = L : Condition de Dirichlet $ \phi_x(x=L)=0 $

Résolution analytique

Résoudre l’équation du modèle de Berkhoff en 1D, $ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ revient à résoudre l’équation caractéristique suivante : $ r^2+k^2=0 $ Avec $ r=\pm{ik} $

D’où la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi(x=0)=A+B=ik(2-\phi) $ $ \phi_x(x=L)=0 $ $ \iff {ikA}e^{ik L}-{ikB}e^{-ik L} = {ik}({A}e^{ikx} + {B}e^{-ikx}) $

Ce qui donne $ A = 1 $ et $ B = e^{2ikL}. $

Donc le potentiel complexe vaut : $ \phi(x)=e^{ikx}+e^{ik(2L-x)} $

Pour avoir la hauteur de la houle dans le temps, on utilise : $ h(x,t) = \Re\left(\phi e^{-i\omega t}\right) $. En remplaçant $ \phi $ trouvé précédemment : $ {h(x,t)} =\Re \left(e^{i(kx- \omega t)} +e^{i(k(2L-x)- \omega t)}\right) $.

$ {\color{green} h(x,t)=\cos(kx–\omega t)+\cos(k(2L-x)-\omega t)} $

Résolution par la méthode d'homotopie

De la même manière que pour la cas 1, la relation d’homotopie est la suivante :

$ (1- p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 $

• "Ordre 0 :"

$ \phi_{0,xx}(x)=0 $ $ \iff \phi_0(x)=Ax+B $ par integration.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_0^0=B=ik(2-\phi) $ $ \phi_{0, x}^L=AL+B=0 $

Donc : $ {\color{green}\phi_0(x)=\left(\frac{2ik}{1+ikL}\right)(1-left(\frac{x}{L}\right))} $

• "Ordre 1 :"

$ \phi_{1,xx}(x)={-k^2}\phi_0(x) $ $ \iff \phi_1(x) = -k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B $.

D’après les conditions limites, on a : $ \phi_1^0=B=ik(2-\phi) $ $ \phi_{1, x}^L=-k^2(\frac{ikL^2}{(1-ikL)2} + L)+A = 0 $ avec $ \phi_1^L=-(\frac{2i(k^3)}{3(1+ik)}(L^2))+AL+B $

Donc : $ {\color{green}phi_1(x)= \left(\frac{i(k^3)}{3L(1+ik)}\right)x^3-\left(\frac{i(k^3)}{(1+ik)} \right)x^2+\left(\frac{2ik}{(1+ik)} \right)\left(\frac{(k^2)(L^2)-3}{3L} \right)x+\left(\frac{2ik)}{1+ik} \right) $

• "Ordre 2 :"

On utilise les valeurs suivantes : $ k=\dfrac{1} {100} $ (nombre d'onde en m^-1), $ H=40 $ (profondeur en m), $ c=\sqrt{gH} $ (célérité de l'onde en m/s), $ \lambda=\dfrac{2\pi}{k} $ (longueur d'onde en m), $ L=2\lambda $ (longueur du domaine en m).

$ \phi_{2,xx}(x)={-k^2}\phi_1(x) $ $ \iff \phi_2(x) = -k^2\int\phi_1dxdx+Ax+B $.

Résolution par WXMAXIMA :