Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/A16

Cas n°1 : Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont

Dans ce premier cas, nous travaillons avec un canal monodimensionnel plat de longueur L. Nous avons en paramètres deux conditions aux limites :

• Condition de Dirichlet : On modélise en entrée une onde de fréquence unitaire $ \phi = 1 $
  
• Condition de Robin : On modélise la sortie libre à l'amont $ \phi_{x} =ik\phi $
  

Nous utilisons alors l'équation de Berkhoff :

$ \nabla {.} (CC_g\nabla\phi_{x}) + k^2CC_g\phi_{x}= 0 $

Or, nous savons que nous travaillons en petite profondeur donc $ CC_g = \sqrt{gH} $
En divisant par cela, nous obtenons l'équation suivante :

$ \nabla {.} (\nabla\phi_{x}) + k^2\phi_{x}= 0 $

Finalement, nous cherchons à résoudre l'équation suivante :

$ \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} \label{eq:1} $

Nous reconnaissons une équation différentielle d'ordre 2. Nous devons chercher simplement les solutions de l'équation homogène car l'équation est égale à 0. Pour ce faire, nous introduisons l'équation caractéristique suivante :

$ r^2+k^2= 0 $

Nous calculons alors le discriminant :

$ \Delta = -4*k^2 $

Nous sommes un présence d'un discriminant inférieur à 0, il a donc deux racines complexes que sont :

$ r=\pm{ik} $

Solution analytique