Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/A16

Contexte et enjeux climatiques

     ♦ Enjeux climatiques et socio-économiques

Le dérèglement climatique constitue un enjeu majeur socio-économique et environnemental dans les années à venir. En effet, le Groupement Intergouvernemental d’Études sur le Climat (GIEC) propose des projections climatiques selon différents taux de rejets de gaz à effet de serre dans l’atmosphère.

En particulier, ce sont les hydro-systèmes qui sont touchés et placés sous forçage climatique résultant en une augmentation du niveau des eaux. En prenant l’exemple de l’estuaire de la Seine, les prévisions liées au changement climatique supposent une hausse des températures et du niveau marin, ainsi qu’une diminution des précipitations, du débit, de la recharge annuelle des aquifères et du niveau piézométrique. Ces modifications drastiques représentent un danger pour les populations et infrastructures situées aux abords des côtes, cette étude sera portée sur l’impact du changement climatique sur les côtes et dans les estuaires, notamment la modification du trait de côte qui entraînerait une redistribution de l’énergie hydraulique dans les estuaires.

C’est dans cette dimension de transition écologique que les bureaux d’études cherchent à intégrer l’adaptation au changement climatique dans leurs actions et leurs projets. Pour ce faire, on remarque la nécessité de travailler non seulement à grande échelle, mais également avec des outils numériques d'exécution rapide et précise, afin de préciser les impacts et d’en trouver plus facilement des solutions.

     ♦ L’influence de la houle sur les côtes et dans les estuaires : phénomène ondulatoire

Le modèle de Berkhoff permet de représenter les phénomènes de réfraction des fonds, le shoaling (modification de la hauteur des vagues en fonction de la profondeur), ainsi que la diffraction et la réflexion dû aux infrastructures côtières (digues, jetées…).

Outils de calculs

Modèle de Berkhoff

Obtenue en 1972, l’équation de Berkhoff reprend les effets associés de la réfraction, diffraction et réflexion, phénomènes que l’on retrouve lors de l’étude de la houle et des vagues. Afin de respecter les hypothèses du modèle de Berkhoff, il faut se placer dans un contexte de houle de faible portée, ainsi que négliger l’inclinaison du sol marin.

Le modèle de Berkhoff a pour expression :

$ \nabla\cdot(CC{_g}\nabla\phi_{x})+{k^2}CC{_g}\phi_{x} = 0 $

où :

$ \phi $ est le potentiel, k est le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $, C la célérité de l'onde étudiée, et $ C{_g} $ la célérité de groupe des vagues.

On retrouve la relation implicite entre la fréquence, la profondeur et le nombre d'onde ci-dessous  :

$ \omega{^2} = g \cdot k \cdot tanh(k \cdot H) $

Cas n°1 : Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont

Solution analytique

Dans ce premier cas, nous travaillons avec un canal monodimensionnel plat de longueur L. Nous avons en paramètres deux conditions aux limites :

• Condition de Dirichlet : On modélise en entrée une onde de fréquence unitaire $ \phi = 1 $
  
• Condition de Robin : On modélise la sortie libre à l'amont $ \phi_{x} =ik\phi $
  

Nous utilisons alors l'équation de Berkhoff :

$ \nabla {.} (CC_g\nabla\phi_{x}) + k^2CC_g\phi_{x}= 0 $

Or, nous savons que nous travaillons en petite profondeur donc $ CC_g = \sqrt{gH} $
En divisant par cela, nous obtenons l'équation suivante :

$ \nabla {.} (\nabla\phi_{x}) + k^2\phi_{x}= 0 $

Finalement, nous cherchons à résoudre l'équation suivante :

$ \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} \label{eq:1} $

Nous reconnaissons une équation différentielle d'ordre 2. Nous devons chercher simplement les solutions de l'équation homogène car l'équation est égale à 0. Pour ce faire, nous introduisons l'équation caractéristique suivante :

$ r^2+k^2= 0 $

Nous calculons alors le discriminant :

$ \Delta = -4*k^2 $

Nous sommes un présence d'un discriminant inférieur à 0, il a donc deux racines complexes que sont :

$ r=\pm{ik} $

Donc la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.
D'après les conditions aux limites, $ \phi_(x=0)= 1 $

soit $ A+B = 1 $

De plus, nous avons $ \phi_x(x=L)={A}e^{ikL}+{B}e^{-ikL}=ik\phi(x=L) $ $ \iff {ikA}e^{ikL}-{ikB}e^{-ikL} = {ik}({A}e^{ikx} + {B}e^{-ikx}) $
Nous obtenons ainsi $ A = 1 et B=0 $

Donc $ \phi(x)=e^{ikx} $

Or, l'évolution dans le temps de la hauteur de la houle correspond à $ h(x,t) = \Re\left(\phi e^{-i\omega t}\right) $.
En remplaçant $ \phi $ trouvé précédemment : $ h(x,t)=\Re\left(e^{i(kx-\omega t)}\right) $.
On a donc :

$ \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=\cos(kx-wt)} $

Cas n°2: Domaine monodimensionnel plat

Dans ce second cas, nous sommes à nouveau dans le cas d'un canal plat de longueur L. Cependant, nous avons des conditions aux limites différentes:

Les conditions aux limites sont:

• Un flux en aval : $ \phi_{x}(x=0) =ik(2-\phi(x=0)) $
  
• Une réflexion totale en amont : $ \phi_{x}(x=L) = 0 $
  

Nous utilisons alors l'équation de Berkhoff :

$ \nabla {.} (CC_g\nabla\phi_{x}) + k^2CC_g\phi_{x}= 0 $

Or, nous savons que nous travaillons en petite profondeur donc $ CC_g = \sqrt{gH} $
En divisant par cela, nous obtenons l'équation suivante :

$ \nabla {.} (\nabla\phi_{x}) + k^2\phi_{x}= 0 $

Finalement, nous cherchons à résoudre l'équation suivante :

$ \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} \label{eq:1} $

Grand texte=== Solution analytique ===

Nous reconnaissons une équation différentielle d'ordre 2. Nous devons chercher simplement les solutions de l'équation homogène car l'équation est égale à 0. Pour ce faire, nous introduisons l'équation caractéristique suivante :

$ r^{2}+k^{2}= 0 $

Nous calculons alors le discriminant :

$ \Delta = -4*k^2 $

Nous sommes un présence d'un discriminant inférieur à 0, il a donc deux racines complexes que sont :

$ r=\pm{ik} $

Donc la solution est de la forme $ \phi(x)={A}e^{ikx}+{B}e^{-ikx} $, avec A et B des constantes réelles à déterminer.

D'après les conditions aux limites, nous avons :

• $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi(x=0) \Longleftrightarrow -ikA + ikB = ik(2-(A+B)) \Longleftrightarrow B=1 $
  
• $ \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow -ikAe^{-ikL}+ikBe^{ikL} = 0 \Longleftrightarrow A=e^{2ikL} $
  

Nous obtenons le potentiel complexe suivant :

$ \{\phi(x)=e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} } $

et donc:

$ \boxed{\phi(x,t)=e^{i(k(2L-x)-wt)}+e^{i(kx-wt)}} $

Nous avons donc :

$ \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=cos(k(2L-x)-wt)+cos(kx-wt)} $