Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/A16

• == Contexte et enjeux climatiques ==
• ♦ Enjeux climatiques et socio-économiques
• ♦ L’influence de la houle sur les côtes et dans les estuaires : le phénomène ondulatoire
• ♦ Phénomènes caractéristiques du modèle ondulatoire
• == Outils de calculs ==
• === Modèle de Berkhoff ===
• Le modèle de Berkhoff a pour expression :
• Où :
• On retrouve la relation implicite entre la fréquence, la profondeur et le nombre d'onde ci-dessous :
• === Résolution par homotopie ===
• La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:
• En injectant la décomposition en série entière
• Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.
• == Cas n°1 : Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont ==
• === Solution analytique ===
• Dans ce premier cas, nous travaillons avec un canal monodimensionnel plat de longueur L.
• En divisant par cela, nous obtenons l'équation suivante :
• Finalement, nous cherchons à résoudre l'équation suivante :
• Nous reconnaissons une équation différentielle d'ordre 2. Nous devons chercher simplement les solutions de l'équation homogène car l'équation est égale à 0.
• Pour ce faire, nous introduisons l'équation caractéristique suivante :
• Nous calculons alors le discriminant :
• Nous sommes un présence d'un discriminant inférieur à 0, il a donc deux racines complexes que sont :
• On a donc :
• === Solution par homotopie ===
• Les conditions aux limites donnent :
• Donc finalement :
• Les conditions aux limites donnent :
• On trouve finalement :
• == Cas n°2: Domaine monodimensionnel plat ==
• En divisant par cela, nous obtenons l'équation suivante :
• Finalement, nous cherchons à résoudre l'équation suivante :
• === Solution analytique ===
• Nous reconnaissons une équation différentielle d'ordre 2. Nous devons chercher simplement les solutions de l'équation homogène car l'équation est égale à 0.
• Pour ce faire, nous introduisons l'équation caractéristique suivante :
• Nous calculons alors le discriminant :
• Nous sommes en présence d'un discriminant inférieur à 0, il a donc deux racines complexes que sont :
• D'après les conditions aux limites, nous avons :
• Nous obtenons le potentiel complexe suivant :
• Et donc:
• Nous avons donc :
• === Solution par homotopie ===
• La relation d'homotopie à l'ordre 1 est la suivante :
• Il vient:
• == Cas n°3 : Domaine monodimensionnel avec pente de fond constante ==
• === Solution analytique ===
• Dans ce cas, nous somme dans le cadre d'un domaine monodimensionnel de longueur L avec une pente de fond constante (s=cste).
• Nous remplaçons avec les données que nous avons évoqué précédemment.
• Nous partons de l'équation déterminée précédemment soit
• Or
• P=0 \\
• Β=0 \\
• R = 1 \\
• Nous pouvons alors déterminer deux équations :
• *
• * '''Détermination de A et B :'''
• J 0 (αH)= J 0 ^0 \\
• Y 0 (αH) = Y 0 ^0 \\
• J 1 (α(H-sL)) = J 1 ^L \\
• Y 1 (α(H-sL)) = Y 1 ^L
• Or
• Cette deuxième condition doit être donnée avec le changement de variable :
• AJ 0^0 + BY 0^0 = 1\\
• AJ 1^L + BY 1^L = AJ 0^L + BY 0^L
• Les conditions aux limites donnent :
• == Cas n°4: Vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale ==
• Dans ce dernier cas, nous traitons le cas d'une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale. Nous traitons alors une surface libre dans une domaine infini en grande profondeur.
• L'équation de Berkhoff se simplifie alors en équation de Helmholtz et s'exprime en coordonnées polaires avec les conditions suivantes:
• Ainsi,
• Nous avons donc
• AJ 0(kr 0)+BY 0(kr 0) = 1 \\
• A l'ordre 0 :
• Les conditions aux limites donnent :
• On a donc
• Finalement