Isochrones (méthode des courbes) (HU)

Traduction anglaise : Isochron map method

Dernière mise à jour : 17/11/2022

Méthode permettant de calculer l'hydrogramme à l'exutoire d'un bassin versant, correspondant à une pluie quelconque connue par son hyétogramme ; elle porte également le nom de méthode rationnelle généralisée.

Principes

Une courbe isochrone (ou ligne isochrone) est définie comme l'ensemble des points d'un bassin versant tels que le temps mis par l'eau pour parcourir le trajet entre le point considéré et l'exutoire soit égal à une valeur donnée. On suppose en général que ce temps est constant, c'est à dire indépendant du débit instantané et de son évolution précédente. Si ces hypothèses sont vérifiées, tout bassin versant peut être décomposé en sous bassins limités par des courbes isochrones. Sur l'exemple de la figure 1, le bassin versant a ainsi été décomposé en 6 sous bassins, limités par des courbes isochrones séparées par des durées fixes et égales à $ Δt $. Par exemple la pluie précipitée sur la surface $ S_2 $ délimitée par les lignes isochrones $ Δt $ et $ 2.Δt $ arrivera à l'exutoire avec un temps de retard compris entre $ Δt $ et $ 2.Δt $.

Figure 1 : Décomposition d'un bassin versant en surfaces séparées par des courbes isochrones

Le temps nécessaire à la pluie pour parcourir le trajet entre la courbe isochrone la plus éloignée de l'exutoire (cette courbe se réduit généralement à un point) est le temps de concentration $ t_c $. La surface est alors égale à la surface totale du bassin versant.

Formulation mathématique

Cette modélisation peut être considérée comme une généralisation de la méthode rationnelle. Elle fournit un moyen simple de calculer l'hydrogramme à l'exutoire du bassin versant, par une simple sommation des débits générés par chacun des sous bassins. Considérons un bassin versant découpé en $ k $ éléments de surface, limités par des courbes isochrones séparées d'un temps $ Δt $ et une pluie de durée égale à $ m.Δt $ discrétisée en $ m $ pas de temps de même durée $ Δt $.

Nota : $ k.Δt $ représente le temps de concentration du bassin versant ; $ m.Δt $ représente la durée de la pluie qui peut être inférieure, égale ou supérieure au temps de concentration.

On note :

• $ S_j $ : surface de l'élément de surface $ j\quad (S_j = 0 $ si $ j\ >\ k $) ;
• $ C_j $ : Coefficient de ruissellement de l'élément de surface $ j\quad (C_j = 0 $ si $ j\ >\ k $) ; 
• $ i_j $ : intensité de pluie au pas de temps $ j\quad (i_j = 0 $ si $ j\ >\ m $) ;

alors l'hydrogramme résultant au $ p_{ième} $ pas de temps $ Δt $ répond à :

$ Q(p.Δt)=\sum_{j=1}^p\ i_j.C_{p+1-j}.S_{p+1-j} \quad (1) $

Si le coefficient de ruissellement est le même pour tout le bassin versant ($ C_j = C $ pour tout $ j $), l'expression se simplifie :

$ Q(p.Δt)=C.\sum_{j=1}^p\ i_j.S_{n+1-j} \quad (2) $

Il est possible de représenter l'expression (2) par un graphe aire/temps qui permet de calculer l'évolution de la surface théorique contribuant au ruissellement en fonction du temps écoulé depuis le début de la pluie (figure 2).

Figure 2 : Exemple de diagramme aire-temps.

Lien avec le modèle de l'Hydrogramme unitaire instantané

La méthode des courbes isochrones constitue une fonction de transfert particulière, fondée sur la seule prise en compte de la translation du débit dans le système (l'évolution des volumes stockés n'est pas considérée en tant que telle). Si l'on fait tendre vers zéro le temps séparant deux lignes isochrones successives, le débit à l'exutoire ne s'exprime alors plus par la somme d'un nombre fini de termes, mais par l'intégrale du produit de l'intensité instantanée par une fonction représentative de la courbe aire-temps.

$ Q(t)=C.\int_{τ=0}^t\ i(τ).S(t-τ).dτ \quad (3) $

En terme mathématiques, il s'agit d'un produit de convolution, et la fonction représentative de la courbe aire-temps constitue l'intégrale de l'Hydrogramme unitaire instantané (HUI), caractéristique de la réponse du bassin versant (figure 3).

Figure 3 : Courbe aire-temps.

Interprétation du modèle du réservoir linéaire selon la méthode des courbes isochrones

Supposons que la vitesse d'écoulement sur le bassin versant soit constante ; le temps nécessaire pour que l'eau aille de la bande de terrain de largeur $ dx $ située à la distance $ x $ de l'exutoire, jusqu'à l'exutoire est alors simplement proportionnel à la distance $ x $.

Posons :

• $ L(x) $ = largeur du bassin versant à la distance $ x $ de l'exutoire ;

Avec ces hypothèses, la dérivée du diagramme aire-temps, donc l'HUI du bassin versant, est simplement égale à $ L(x) $.

Or nous savons que l'HUI du réservoir linéaire est caractérisé par une relation exponentielle décroissante.

On peut donc interpréter le modèle du réservoir linéaire comme un modèle de courbes isochrones appliqué à un bassin versant dont la largeur varierait de façon exponentielle depuis l'exutoire jusqu'au point le plus hydrologiquement éloigné (figure 4).

Figure 4 : Représentation de la fonction $ L(x) $ correspondant au modèle du réservoir linéaire.

De façon très étrange le modèle du réservoir linéaire qui ne tient compte que du stockage et pas du tout compte des temps de transfert peut se formuler, moyennant une hypothèse simple sur la forme du bassin versant, comme un modèle de courbes isochrones qui ne tient compte lui que du transfert et pas du tout du stockage.

Intérêt et imites d'utilisation

Ce modèle est extrêmement précieux en termes pédagogiques pour expliquer les mécanismes de génération du débit sur les bassins versants et pour justifier l'une des hypothèses fondamentales de la méthode rationnelle, à savoir que la pluie la plus défavorable pour un bassin versant est celle dont la durée est égale à son temps de concentration. La délimitation des courbes isochrones est cependant souvent difficile et conduit à un nombre de paramètres importants. Sauf cas particulier, en hydrologie urbaine, on préférera des modèles plus simples à formuler comme le réservoir linéaire.