Aujourd'hui sous l'effet du changement climatique, le littoral apparaît de plus en plus vulnérable face à la montée des eaux, mettant en péril des centaines de milliers d'habitants. D'autre part, le littoral français notamment est un littoral dit fragile soumis à un phénomène d'érosion important dû à la friction de la houle sur les côtes. Ce phénomène entraîne des éboulements plus ou moins importants et une fragilisation des falaises comme nous pouvons le voir sur l'image ci-dessous.
Falaise Bretonne, photographie prise à Bréhec (22)
Le projet vise à quantifier l'impact du réchauffement climatique sur le littoral et plus particulièrement l'impact de la houle.
Pour cela, nous allons modéliser informatiquement les mouvements de la houle pour pouvoir étudier l'impact de la montée des eaux près de la côte.
Les équations obtenues seront résolues par une méthode analytique et une méthode semi-analytique: l'homotopie.
Mise en contexte et présentation du projet
Modèle de Berkhoff
Afin de modéliser la houle, nous allons utiliser le modèle de Berkhoff. Il s'agit d'un modèle bi-dimensionnel qui a pour expression :
$ \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 $
La houle contre le littoral, photographie prise à Bréhec (22)
avec :
$ \phi $ : le potentiel,
k : le nombre d'onde,
C : la célérité de l'onde,
Cg : la célérité de groupe des vagues.
Les principales hypothèses du modèle sont que :
- le fluide est considéré comme étant parfait, incompressible et irrotationnel
- le fond est fixe et imperméable
- la hauteur de la houle est faible par rapport à sa longueur d’onde et à la profondeur
- les sollicitations atmosphériques à la surface libre sont négligées
Cette équation décrit l'effet combiné de la réfraction et de la diffraction sur la propagation de la houle, en particulier au niveau des zones portuaires.
Le phénomène de diffraction dans une anse portuaire, photographie prise à Bréhec (22)
Afin de simplifier le problème, nous nous placerons dans le domaine des ondes longues qui se caractérise par : C = Cg = $ \sqrt{gH} $.
L'équation devient alors : Δ$ \phi $+$ k^2 $$ \phi $=0
En 1D on obtient : $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + k^{2}\phi=0 $
Cas n°1 : Canal monodimensionnel avec sortie libre
Dans ce cas n°1, on étudie un canal monodimensionnel de longueur L qui vérifient les conditions aux limites suivantes :
Condition de Dirichlet à l'aval : $ \phi({x=0}) $ = $ \phi^0 $ = 1
Condition de Robin en amont : $ \frac{\partial Φ}{\partial x}(x=L) $ = $ \phi_x^L $ = $ ik\phi^L $
Résolution analytique
On résout le modèle de Berkhoff simplifié en 1D : $ \frac{\partial^2 Φ}{\partial x^2} + k^{2}Φ=0 $
L'équation caractéristique est de la forme $ r^{2}+k^{2}=0 $, donc $ r = ± ik $
D'où $ \phi(x)=A\text{e}^{-ikx}+B \text{e}^{ikx} $ , avec A, B des réels
L'évolution dans le temps de la hauteur de houle est donnée par : $ h(x,t)=Re(Ф\text{e}^{-iωt}) $ avec $ Φ(x,t) = Ф\text{e}^{-iωt}= \text{e}^{i(kx-ωt)} $
Donc $ \color{Red}h(x,t) = cos(kx-ωt) $
Résolution par la méthode d'homotopie
En choisissant une solution initiale nulle et la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire, on obtient la relation d'homotopie suivante :
$ (1-p)\phi_{xx} + p(\phi_{xx} + k^2\phi) = 0 $, dans laquelle on injecte la décompostion en séries entières de $ ϕ(x,p)=ϕ_0(x)+pϕ_1(x)+p^2ϕ_2(x)+p^3ϕ_3(x)+... $
Ordre 0(p = 0)
$ \phi_{0,xx} = 0 $
Alors $ \phi_{0,x} = A $ et $ \phi_{0} = Ax + B $
D'après les conditions aux limites : $ \phi_0^0 = 1 $ et $ \phi_{0,x}^L = ik\phi_0^L $
On obtient : $ \color{Red}\phi_0(x) = 1 + \frac{ik}{1-ikL}x $
Grâce aux mêmes conditions aux limites : $ \phi^0_1 = 0 $ et $ \phi^L_{1,x} = ik\phi^L_1 $
On obtient : $ \color{Red}\phi_1 = - \frac{k^2L(k^2L+3ikL-3)}{3(1-ikL)^2} - k^2\left(\frac{ik}{6(1-ikL)}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right) $
Ordre 2(p = 2)
On donne :
$ k =\frac{1}{100} $ (nombre d'onde en m-1)
$ H = 40 $ (profondeur en m)
$ c = \sqrt {gH} $ (célérité de l'onde en m/s)
$ \lambda = \frac{2\pi}{k} $ (longueur d'onde en m)
$ L = 2\lambda $ (longueur du domaine en m)
On se propose d'étudier l'ordre 2 grâce à MAXIMA.
L'équation de l'ordre 2 est $ \phi_{2,xx} - \phi_{1,xx} + \phi_{1,xx} + k^2 \phi_1 = 0 $
Résolue, elle donne : $ \phi_2 = - k^2 \int \phi_1 dxdx + Ax + B $
D'après les conditions aux limites du cas n°1,
Ordres Supérieurs
Cette fois nous effectuons la résolution grâce au logiciel Maxima. Pour cela, nous calculons les $ \phi_i $ par itération puis nous résolvons l'équation grâce à la même méthode.
Illustration de la résolution par la méthode d'homotopie pour le cas 1
On peut ici observer la solution homotopique (en bleue) variant et convergeant vers la solution analytique (en rouge). Plus les ordres augmentent, plus la méthode d'homotopie vient s'approcher de la solution analytique. Ainsi, la solution par homotopie converge vers la solution analytique.
Avec les valeurs : $ k =\frac{1}{100} $ (nombre d'onde en m-1) $ H = 40 $ (profondeur en m) et $ L = \frac{1}{k} $ (longueur en m)
Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde k
Vient ensuite, l'étude de la sensibilité pour le cas 1. Cette étude de sensibilité consiste à faire varier la valeur de kL.
Les autres grandeurs ne sont pas modifiées.
Pour kL < 1 :
Illustration de la résolution par la méthode d'homotopie pour le cas 1
Avec comme valeur k = 1/100, et L = 100.
Pour kL > 1 :
Illustration de la résolution par la méthode d'homotopie pour le cas 1
Avec comme valeur k = 1/100, et L = 1000.
En conclusion, pour la valeur de kL < 1, la solution issue de la résolution par la méthode de l'homotopie converge plus rapidement vers la solution analytique que lorsque que kL=1.
De plus,pour la valeur de kL > 1, la solution issue de la résolution par la méthode de l'homotopie converge plus lentement et difficilement vers la solution analytique que lorsque que kL=1.
Cas n°2 : Canal monodimensionnel avec réflexion totale en amont
Dans ce cas n°2, on étudie de nouveau un canal plat de longueur L. Cependant, les conditions aux limites changent. On a :
une refléxion totale en amont : $ \phi_x^L = 0 $
une condition de flux à l'aval : $ \phi_x^0= ik(2-\phi^0) $
Résolution analytique
On résout la même équation de Berkhoff que dans le cas n°1 : $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + k^{2}\phi=0 $
On obtient de nouveau une équation caractéristique de la forme : $ r^{2} + k^{2} = 0 $
La solution reste donc de la forme : $ \phi(x)=A\text{e}^{-ikx}+B \text{e}^{ikx} $ , avec A, B des réels
On applique les conditions aux limites et on obtient :
En $ x = 0 $ : $ \phi_x^0= ik(2-\phi^0) $ <=> $ A = \text{e}^{2ikL} $
De la même façon, on a : $ \phi(x,t) = \text{e}^{i(k(2L - x)-ωt)} + \text{e}^{i(kx-ωt)} $
L'évolution de la hauteur de la houle au cours du temps est donnée par : $ \color{Red}h(x,t) = Re(\phi(x,t))= cos(k(2L - x)) + cos(kx - ωt) $
Résolution par la méthode d'homotopie
La résolution par la méthode d'homotopie est similaire à celle du cas n°1. Cependant, les conditions aux limites sont différentes.
On injecte dans l'équation suivante $ (1-p)\phi_{xx} + p(\phi_{xx} + k^2\phi) = 0 $ la décompostion en séries entières de $ ϕ(x,p)=ϕ_0(x)+pϕ_1(x)+p^2ϕ_2(x)+p^3ϕ_3(x)+... $ Puis on la résout selon les valeurs de p.
Ordre 0 (p = 0)
$ \phi_{0,xx} = 0 $
Alors $ \phi_{0,x} = A $ et $ \phi_0 = Ax + B $
En appliquant les conditions aux limites, on obtient :
En x = L : $ \phi_x^L = 0 $ <=> A = 0
En x = 0 : $ \phi_{0,x}^0 = ik(2 - \phi_0) $ <=> $ A = ik(2 - B) $ donc $ B = 2 $
Donc $ \color{Red}\phi_0(x) = 2 $
Ordre 1 (p = 1)
L'équation devient : $ \phi_{xx} + k^2 \phi = 0 $, soit $ \phi_{1,xx} + k^2 \phi_0 = 0 $
Ainsi : $ \phi_1 = -k^2x^2 + Ax + B $
En appliquant les conditions aux limites, on obtient :
En x = L : $ \phi_{1,x}^L = 0 $ <=> $ -2kL^2 + A = 0 $ donc $ A = 2kL^2 $
En x = 0 :$ \phi_{1,x}^0 = ik(2 - \phi_1^0) $ <=> $ A = ik(2 - B) $ donc $ B = 2(1 + ikL) $
Donc $ \color{Red}\phi_1(x) = -k^2x^2 + 2k^2Lx +2(1 +ikL) $
Ordres supérieurs
On étudie les ordres supérieurs grâce au logiciel MAXIMA, en fonctionnant par itération. Nous avons pris dans ce cas $ k = \frac{1}{100} $ et L = 50.
Illustration de la résolution par la méthode d'homotopie pour le cas 2
On observe ici la solution homotopique (en bleue) variant et convergeant vers la solution analytique (en rouge) lorsque l'ordre augmente.
Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde k
La longueur L ne varie pas et a été fixé à 50m. L'étude de sensibilité de la solution consiste à étudier la solution en faisant varier k. Nous avons mener cette étude pour trois valeurs de k différentes exprimées ci-dessous.
Pour $ k = \frac{1}{25} $ :
Première étude de sensibilité du cas 2 pour $ k = \frac{1}{25} $
Pour $ k = \frac{1}{50} $:
Deuxième étude de sensibilité du cas 2 pour $ k = \frac{1}{50} $
Nous avons déduit de cette étude que le résultat ne converge pas lorsque k prend des valeurs plus élevés que $ k = \frac{1}{100} $ comme pour $ k = \frac{1}{25} $ et $ k = \frac{1}{50} $.
Pour $ k = \frac{1}{1000} $ :
Troisième étude de sensibilité du cas 2 pour $ k = \frac{1}{1000} $
Sur ce gift, l'étude est effectuée dans le sens croissant des ordres puis dans le sens décroissant afin de bien montrer la correspondance entre les deux courbes. Ainsi pour des valeurs plus faibles de k ($ k < \frac{1}{100} $ ), la solution issue de la méthode de l'homotopie semble converger vers la solution analytique.
Cas n°3 : Canal monodimensionnel avec pente du fond (s) constante et sortie libre en amont
Deux cas sont à étudier :
$ k = k_0 = constante $
$ k=k_0\sqrt{\dfrac{H_0}{H(x)}} $
Notre trinôme s’intéresse au cas où $ k=k_0\sqrt{\dfrac{H_0}{H(x)}} $.
Les conditions aux limites sont dans ce cas n°3 :
Condition de Dirichlet à l'aval : $ \phi({x=0}) $ = $ \phi^0 $ = 1
Condition de Robin en amont : $ \frac{\partial Φ}{\partial x}(x=L) $ = $ \phi_x^L $ = $ ik\phi^L $
Résolution analytique
Dans ce cas n°3, notre domaine fait toujours une longueur L mais le fond du canal est en pente constante d'équation $ z = H_0 - sx $
Ainsi, $ CC_g = g H(x) = g (H_0 - sx) $.
Nous ne passerons donc plus par l'équation de Helmoltz mais simplifions directement l'équation de Berkhoff : $ H(x) \phi_{xx} + H'(x) \phi_{z} + k(x)^2 H(x) \phi = 0 $, avec $ k(x) = k_0\sqrt{\dfrac{H_0}{H(x)}} $
On obtient ainsi l'équation de Bessel suivante : $ z s^2 \frac{\partial ^2 \phi}{\partial z^2} + s^2 \frac{\partial \phi}{\partial \phi} + k_0^2 H_0 \phi = 0 $, soit de la forme :
$ \color{Red} \phi_{zz} + \frac{1}{z}\phi_z + K^2 \phi = 0 $, où $ K^2 = \frac{k^2 H_0}{s^2} $.
La solution générale de l'équation de Bessel est de la forme :
Ainsi, on obtient $ k^{2}= \frac{k_{0}^{2}*H_{0}}{H(x)} $, avec $ H(x)=H_{0}-sx $.
On pose : $ b^{2}=\frac{k_{0}^{2}H_{0}}{s} $, $ z_{0}=\frac{k_{0}H_{0}\sqrt{H_{0}}}{s} $ et $ z_{L}=\frac{k_{0}(H_{0}-sL)\sqrt{H_{0}}}{s} $.
L'équation de Berkhoff devient, $ zФ_{zz}+Ф_{z}+b^{2}Ф=0 $, et on a $ \color{Red}Ф(z)=AJ_{0}(bz)+BY_{0}(bz) $. où A et B sont à déterminer avec les conditions limites. Notons $ z_{0}=bH_{0}=\frac{k_{0}} {s} H_{0} $ et $ z_{L}=b(H_{0}-sL)=\frac{k_{0}} {s}(H_{0}-sL) $.
Ainsi, A et B ont pour expression:
$ \color{Red}A=\frac{iY_{0}(z_{L})-Y_{1}(z_{L})}{(iY_{0}(z_{L})-Y_{1}(z_{L}))J_{0}(z_{0})+Y_{0}(z_{0})(J_{1}(z_{L})-iJ_{0}(z_{L}))} $ et $ \color{Red}B=\frac{1}{Y_{0}(z_{0})+J_{0}(z_{0})\frac{iY_{0}(z_{L})-Y_{1}(z_{L})}{J_{1}(z_{L})-iJ_{0}(z_{L})}} $.
Résolution par la méthode d'homotopie
On a la relation d'homotopie suivante : $ (1-p)\phi_{xx} + p ( (H_0 - sx) \phi_{xx} - s\phi_{x} + k^2 (H_0 -sx)\phi) = 0 $, dans laquelle on injecte la décompostion en séries entières de $ ϕ(x,p)=ϕ_0(x)+pϕ_1(x)+p^2ϕ_2(x)+p^3ϕ_3(x)+... $
Ordre 0(p = 0)
De la même façon que pour le cas n°1, on obtient : $ \phi_{0,xx} = 0 $, donc $ \phi_0 = Ax + B $.
En appliquant les conditions aux limites, on obtient l'expression de $ \color{Red}\phi_0(x) = 1 + \frac{ik}{1-ikL}x $
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 0
Ordre 1(p = 1)
A l'ordre 1, $ Φ_{1,xx}-Φ_{0,xx}+(1-ξx)Φ_{0,xx}-ξΦ_{0,x}+k_{0}^{2}Φ_{0}=0 $.
Ainsi, on trouve $ \color{Red}Φ_{1}(x)= \frac{iξk_{L}x^{2}}{2(1-ik_{L}L)} - \frac{k_{0}^{2}x^{2}}{2} - \frac{ik_{0}^{2}k_{L}x^{3}}{6(1-ik_{L}L)} +Ax+B $ où A et B sont à déterminer avec les conditions limites.
Ainsi, A et B valent :
$ B=0 $ et $ A= \frac{-k_{L}L}{6(1-ik_{L}L)^{2}} ( 3ξLk_{L} -k_{0}^{2}k_{L}L^{2} -3ik_{0}^{2}L +6iξ ) - \frac{ik_{0}^{2}Lk_{L}^{2}}{2(1-iLk_{L})} + \frac{k_{0}^{2}L}{1-iLk_{L}} $
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 1
Ordre 2(p = 2)
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 2
Cas n°4 : Canal monodimensionnel avec forme exponentielle du fond (s) et sortie libre en amont
Résolution analytique
Dans ce cas n°4, les conditions aux limites sont similaires au cas n°3. Cependant, le fond du canal suit une pente exponentielle. La modélisation de la hauteur du fond nous donne alors : $ H(x)=H_0\text{e}^{-sx} $
L'équation caractéristique associée est de la forme : $ r^2 - sr + k^2 = 0 $
Résolvons l'équation en fonction du signe du discriminant : $ Δ = s^2 - 4k^2 $
Si $ Δ = s^2 - 4k^2 > 0 $
On obtient : $ r1 = \frac{ s - \sqrt{s^2 - 4k^2}}{2} $ et $ r2 = \frac{ s + \sqrt{s^2 - 4k^2}}{2} $
On a une solution de la forme : $ \phi(x) = A_1 \text{e}^{r_1x} + B_1 \text{e}^{r_2x} $.
Après avoir appliqué les conditions aux limites pour obtenir la valeur des constantes, on a :
$ A_1=1-\frac{ik\mathrm{e}^{r_1L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}}{r_2\mathrm{e}^{r_2L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}+ik\mathrm{e}^{r_1L}-ik\mathrm{e}^{r_2L}} $ et $ B_1=\frac{ik\mathrm{e}^{r_1L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}}{r_2\mathrm{e}^{r_2L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}+ik\mathrm{e}^{r_1L}-ik\mathrm{e}^{r_2L}} $
Ainsi, on a : $ \color{Red}\phi(x) = (1-\frac{ik\mathrm{e}^{r_1L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}}{r_2\mathrm{e}^{r_2L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}+ik\mathrm{e}^{r_1L}-ik\mathrm{e}^{r_2L}})\text{e}^{r_1x} + \frac{ik\mathrm{e}^{r_1L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}}{r_2\mathrm{e}^{r_2L}-r_1\mathrm{e}^{r_1L}+ik\mathrm{e}^{r_1L}-ik\mathrm{e}^{r_2L}} \text{e}^{r_2x} $, avec $ r1 = \frac{ s - \sqrt{s^2 - 4k^2}}{2} $ et $ r2 = \frac{ s + \sqrt{s^2 - 4k^2}}{2} $
Si $ Δ = s^2 - 4k^2 = 0 $
On a : $ r = \frac{s}{2} $
On a une solution de la forme : $ \phi(x) = (Ax + B)\text{e}^{r_0x} $.
Après avoir appliqué les conditions aux limites pour obtenir A et B, on a l'expression : $ \color{Red}\phi(x) = (\frac{ik - \frac{s}{2}}{1 + \frac{s}{2}L - ikL}x+1)\text{e}^{\frac{s}{2}x} $
Illustration de la solution analytique pour un discriminant nul du cas 4
Si $ Δ = s^2 - 4k^2 < 0 $
On a : $ r1 = \frac{ s - i\sqrt{4 k^2 - s^2}}{2} = a - ib $ et $ r2 = \frac{ s + i\sqrt{4 k^2 - s^2}}{2} = a +ib $
On a une solution de la forme : $ \phi(x) = \text{e}^{ax} (A_2 cos(bx) + B_2 sin(bx)) $, avec $ a = \frac{s}{2} $ et $ b =\frac{\sqrt{-(s^{2}-4k^{2}})}{2} $
Après avoir appliqué les conditions aux limites pour obtenir A et B, on a l'expression : $ \color{Red}\phi(x)=e^{ax}(cos(bx)+\frac{(ik-a)cos(bL)+bsin(bL)}{(-ik+a)sin(bL)+bcos(bL)}sin(bx)) $.
Résolution par la méthode d'homotopie
Dans un second temps, on résout à l'aide de la méthode de l'homotopie :
$ (1-p)\phi_{xx} + p(\phi_{xx}-s\phi_{x}+k^2\phi)=0 $
On réinjecte une décomposition en série entière : $ ϕ(x,p)=ϕ_0(x)+pϕ_1(x)+p^2ϕ_2(x)+p^3ϕ_3(x)+... $
Ordre 0
Tout d'abord, résolvons l'ordre 0 :
$ \phi_{xx,0} $ soit $ \phi_0=Ax+B $.
Les conditions limites sont les suivantes: $ \phi_0^0=1 $ et $ \phi_{0,x}^L=ik\phi_{0}^L $
On en conclut que : $ \color{Red}\phi_0=1+\dfrac{ik}{1-ikL}x $.
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 0 pour le cas 4
Ordre 1
A l'ordre 1, on résout :
$ \phi_{xx,1}-s\phi_{x,0}+k^2\phi_{0}=0 $ avec les conditions initiales $ \phi_1^0=0 $ et $ \phi_{1,x}^L=ik\phi_{1}^L $.
soit $ \color{Red}\phi_1=s\dfrac{ik}{1-ikL}\dfrac{x^2}{2}-k^2\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{k^3 i}{1-ikL}\dfrac{x^3}{6}+Ax+B $
Avec $ A=\dfrac{ik\Big(\dfrac{sik}{1-ikL}\dfrac{x^2}{2}-k^2\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{k^3 i}{1-ikL}\dfrac{x^3}{6}\Big)-\dfrac{sik}{1-ikL}x+k^2 x+\dfrac{k^3 i}{1-ikL}\dfrac{x^2}{2}}{1-ikx} $
et $ B=0 $
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 1 pour le cas 4
Ordre 2
$ \phi_{xx,2}-s\phi_{x,1}+k^2\phi_{1}=0 $ avec les conditions initiales $ \phi_2^0=0 $ et $ \phi_{2,x}^L=ik\phi_{2}^L $.
La résolution devenant de plus en plus complexe, nous avons fait le choix de traiter les ordres suivants à l'aide du logiciel WSMAXIMA et de représenter la solution obtenue.
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 2 pour le cas 4
Ordre 3
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 3 pour le cas 4
Ordre 4
Illustration de la solution obtenue par la méthode d'homotopie à l'ordre 4 pour le cas 4
Conclusion
Intérêts de la méthode d'homotopie
L'intérêt de la méthode est qu’elle permet de partir d’une solution connue relativement simple et de converger vers une solution complète. Elle permet également d’atteindre la solution finale avec peu de termes. Par ailleurs, elle utilise la résolution formelle et peut donc être facilement programmée à l’aide d’outils de calcul formel tels que WSMAXIMA comme nous l'avons vu ici.
Limite des résultats obtenus
La houle est caractérisée généralement par des paramètres variables : amplitude, période, longueur d'onde, direction. Cependant, d'autres variables sont à prendre en compte. La méthode par homotopie permet d'approximer la réalité. Les limites de son utilisation sont ces autres variables que la méthode par homotopie ne peut prendre en compte.
De plus, l'onde au cours de cette étude a été considérée comme une onde monochromatique. Tandis que dans la réalité, une onde correspond à un train de vagues de périodes potentiellement variables.
D'autre part, le modèle de Berkhoff conduit à l'application d'un certain nombre d'hypothèses. Les hypothèses les plus retenues sont telles que :
- le fluide est considéré comme étant parfait, incompressible et irrotationnel
- le fond est fixe et imperméable
- la hauteur de la houle est faible par rapport à sa longueur d’onde et à la profondeur
- les sollicitations atmosphériques à la surface libre sont négligées
Enfin, des paramètres variables comme l'énergie cinétique des vagues, la force du vent, les nombreux courants marins, la répartition des sédiments, l'irrégularité du trait de côte et des fonds océaniques, sont des paramètres complexes à modéliser. Mais leurs interventions dans la formation de la houle et leurs influences sur cette dernière ne sont pas négligeables.
Ainsi, le modèle ne nous donne qu'une idée très approximative de l'impact de la houle sur les littoraux. Au fur et mesure des approximations tant physiques et mathématiques, le modèle s'éloigne de la réalité.
Illustration de l'impact de la houle sur une digue (22)
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