S'abonner à un flux RSS
Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/APPAIX MOREL SANFRANCISCO : Différence entre versions
(→Hiérarchie des hypothèses simplificatrices) |
(→Solution analytique) |
||
| Ligne 27 : | Ligne 27 : | ||
On dérive alors (1) par rapport à t et (2) par rapport à x.<br /> | On dérive alors (1) par rapport à t et (2) par rapport à x.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | <math> b×∂<sup>2</sup>h∂t<sup> | + | <math> b×∂<sup>2</sup>h∂t<sup>2²</sup> + ∂(∂Q/∂x)∂t = 0 </math> (1)<br /> |
<math> 2Qδxδt + gA(2h∂<sup>2</sup>x) = 0 </math> (2)<br /> | <math> 2Qδxδt + gA(2h∂<sup>2</sup>x) = 0 </math> (2)<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| Ligne 44 : | Ligne 44 : | ||
Donc <math>h(x,t)=A.exp(xσ/c)+B.exp(-xσ/c)</math> avec A et B, deux constantes.<br /> | Donc <math>h(x,t)=A.exp(xσ/c)+B.exp(-xσ/c)</math> avec A et B, deux constantes.<br /> | ||
SUITE DE CALCUL | SUITE DE CALCUL | ||
| + | |||
=== Cas d'application === | === Cas d'application === | ||
==== Onde de marée progressive ==== | ==== Onde de marée progressive ==== | ||
Version du 21 avril 2020 à 23:49
Bon courage et n'hésitez pas à communiquer avec moi par mail: jm.tanguy@shf-hydro.org
Sommaire |
CAS n°1
Éléments de contexte
Modélisation mathématique des phénomènes de transport - évolution des fonds
Hiérarchie des hypothèses simplificatrices
Navier-Stokes
- l'eau est considéré comme un fluide incompressible
- on réalise une intégration sur une section de calcul rectangulaire
- on considère que l'accélération est négligeable
- on considère que le frottement est négligeable
Expression de l'équation simplifiée
A partir des hypothèses précédentes, considérons un canal infini de forme rectangulaire : largeur b et profondeur d'eau H0.
Soit h le niveau d'eau, u la vitesse moyenne de l'écoulement dans la section de surface A=bH0 et enfin Q=bH0u le débit.
SCHEMA
On obtient alors les deux équations suivantes :
$ b∂h/∂t + ∂Q/∂x = 0 $ (1)
$ ∂Q/∂t + gA(∂h/∂x) = 0 $ (2)
Solution analytique
On dérive alors (1) par rapport à t et (2) par rapport à x.
$ b×∂<sup>2</sup>h∂t<sup>2²</sup> + ∂(∂Q/∂x)∂t = 0 $ (1)
$ 2Qδxδt + gA(2h∂<sup>2</sup>x) = 0 $ (2)
On élimine ensuite le terme $ 2u∂x∂t $, nous obtenons l'équation des ondes suivante: $ ∂<sup>2</sup>h/∂t<sup>2</sup> + gH0∂<sup>2</sup>h/∂x<sup>2</sup> = 0 $
Cette équation peut se mettre sous la forme: $ (∂h∂t+c∂h∂x)=0 $
Une solution de cette équation pour l'évolution de la surface libre est la suivante:
$ h=acos(kx−σt) $ qui correspond à la propagation de 2 ondes de vitesse $ c=gH−−−√ $ dans les deux sens (vers la gauche et vers la droite)
Soit k le nombre d'onde, on obtient alors:
$ ∂h∂t = aσsin(kx - σt) $ et $ 2∂h∂2t = -σ<sup>2</sup>h(x,t) $
Donc $ -σ<sup>2</sup>h(x,t) + gH0∂<sup>2</sup>h/∂x<sup>2</sup> = 0 $
Donc $ h(x,t)=A.exp(xσ/c)+B.exp(-xσ/c) $ avec A et B, deux constantes.
SUITE DE CALCUL
Cas d'application
Onde de marée progressive
Le cas que nous présentons ici est un cas d'école, car il met en scène la propagation d'une onde de marée de période de 12 heures dans un canal rectangulaire.
Les caractéristiques de cet exemple sont les suivants:
- période de la marée (T) : 12 heures
- amplitude : ... m
- profondeur (H0): 500 m
Les calculs conduisent à :
- célérité (c): 70 m/s
- nombre d'onde (k) : 7,48E-003 m-1
On résout l'équation de Berkhoff
SUITE DE CALCUL
