Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/APPAIX MOREL SANFRANCISCO : Différence entre versions

Version du 22 mai 2020 à 22:37

Bon courage et n'hésitez pas à communiquer avec moi par mail: jm.tanguy@shf-hydro.org

CAS n°1

Éléments de contexte

Modélisation mathématique des phénomènes de transport - évolution des fonds

Hiérarchie des hypothèses simplificatrices

Navier-Stokes

• l'eau est considéré comme un fluide incompressible
• on réalise une intégration sur une section de calcul rectangulaire
• on considère que l'accélération est négligeable
• on considère que le frottement est négligeable

Expression de l'équation simplifiée

A partir des hypothèses précédentes, considérons un canal infini de forme rectangulaire : largeur b et profondeur d'eau H0.

Soit h le niveau d'eau, u la vitesse moyenne de l'écoulement dans la section de surface A=bH0 et enfin Q=bH0u le débit.

    SCHEMA

On obtient alors les deux équations suivantes :

$ b∂h/∂t + ∂Q/∂x = 0 $ (1)

$ ∂Q/∂t + gA(∂h/∂x) = 0 $ (2)

Solution analytique

On dérive alors (1) par rapport à t et (2) par rapport à x.

$ b×∂²h/∂t² + ∂²Q/∂x∂t = 0 $ (1)
$ δ²Q/δxδt + gA(∂²h/∂²x) = 0 $ (2)

On élimine ensuite le terme $ ∂²Q/∂x∂t $, nous obtenons l'équation des ondes suivante: $ -∂²h/∂t² + gH0∂²h/∂x² = 0 $


Cette équation peut se mettre sous la forme: $ (∂h∂t+c∂h∂x)=0 $
Une solution de cette équation pour l'évolution de la surface libre est la suivante:
$ h=acos(kx−σt) $ qui correspond à la propagation de 2 ondes de vitesse $ c=√gH $ dans les deux sens (vers la gauche et vers la droite)

Soit k le nombre d'onde, on obtient alors:
$ ∂h/∂t = aσsin(kx - σt) $ et $ ∂²h/∂t² = -σ²h(x,t) $

Donc $ -σ²h(x,t) + gH0 × ∂²h/∂x² = 0 $

Donc $ h(x,t)=A.exp(xσ/c)+B.exp(-xσ/c) $ avec A et B, deux constantes.

   SUITE DE CALCUL

$ ▽(CC_g▽Φ)+k^2CC_gΦ=0 $ avec $ C=\surd gH $ et $ CC_g=gH $

on a donc $ gH\frac{∂^2Φ}{∂x^2}+k^2gHΦ=0 $

$ \Rightarrow\frac{∂^2Φ}{∂x^2}+k^2Φ=0 $ on obtient donc une équation différentielle homogène d'ordre 2 donc la solution est :

$ Φ=Ae^{-ikx}+Be^{ikx} $
On détermine A et B, deux constantes, grâce aux conditions limites :
en x = 0 et x = L : $ Φ(x)=1 $ et $ \frac{∂Φ(x)}{∂x}=ikΦ $

$ Φ(0)=1=A+B<math> et <math>frac{∂^2Φ}{∂x^2}(0)=ikΦ(0)=ik=-ikA+ikB $
$ \Leftrightarrow\ A+B=1<math> et <math>B-A=1<math> donc '''A=0 et B=1''' <br /> === Cas d'application === ==== Onde de marée progressive ==== Le cas que nous présentons ici est un cas d'école, car il met en scène la propagation d'une onde de marée de période de 12 heures dans un canal rectangulaire.<br /> <br /> Les caractéristiques de cet exemple sont les suivants:<br /> * période de la marée (T) : 12 heures * amplitude : ... m * profondeur (H0): 500 m Les calculs conduisent à : * célérité (c): 70 m/s * nombre d'onde (k) : 7,48E-003 m-1 On résout l'équation de Berkhoff SUITE DE CALCUL <br /> === Homotopie === <math>Φ=\sum_{k=0}^{\infty} p^kΦ_k $

$ Φ_{xx}=\sum_{k=0}^{\infty} p^kΦ_{k,xx} $
En première estimation on pose $ u_0=1 $
$ (1-p)(Φ_{xx}-u_{0,xx})+p(Φ_{xx}+k^2Φ)=0 $ et $ Φ_{xx}+k^2Φ=0 $ car H est constant
On développe cette expression pour différents ordres de p et pour $ u_0=1 $ donc $ u_{0,xx}=0 $ puis on intègre ces équations en fonction des conditions aux limites :

Ordre 0 :
$ Φ_{0,xx}(x)-u_{0,xx}(x)-pΦ_{0,xx}(x)+pu_{0,xx}(x)+pΦ_{0,xx}+pk^2Φ_0(x)=0 $
$ \LeftrightarrowΦ_{0,xx}(x)-u_{0,xx}(x)+pu_{0,xx}(x)+pk^2Φ_0(x)=0 $ cette égalité est vraie pour tout p, donc en particulier pour p=0 donc :
$ Φ_{0,xx}(x)-u_{0,xx}(x)=0 $

$ \int_0^L Φ_{0,xx}(x)dx = A.... $

Ordre 1 :
$ Φ_{0,xx}(x)-u_{0,xx}(x)+pΦ_{1,xx}(x)+pu_{0,xx}(x)-pΦ_{0,xx}(x)-p^2Φ_{1,xx}(x)+pΦ_{0,xx}(x)+p^2Φ_{1,xx}(x)+pk^2Φ_0(x)+p^2k^2Φ_1(x)=0 $

On intègre ensuite chaque équation en fonction des conditions aux limites.

Ordre 0:

Φ0(x)=u0+Ax+B:deux constantes à déterminer

Conditions aux limites:

1) en x=0, Φ=1 donne: B=0

2) en x=L, Φx=ikΦ donne Φx=A

et Φx(x=L)=ikΦ(x=L)=ik(u0+AL)

donc A=ik(u0+AL)

D'où A=iku0/(1-ikL);

Et on obtient Φ0(x)=u0+Ax=u0+iku0/(1-ikL)*x

Avec u0=1, on a alors:

Φ0(x)=1+Ax=1+ik/(1-ikL)*x

Ordre 1:

Φ1+u0+k²∫∫Φ0+A2+B2=0

On injecte dans l'équation ci-dessus l'expression de Φ0.

On a alors: Φ1+u0+k²(u0x²/2+[iku0/(1-ikL)]x³/3)+A2+B2=0

Conditions aux limites:

1) en x=0, Φ=1 donne: B=-2

2) en x=L, Φx=ikΦ donne Φx=-k²(u0L+[iku0/(1-ikL)]L²/2)-A2

et Φx(x=L)=ikΦ(x=L)=-ik(u0+k²(u0x²/2+[iku0/(1-ikL)]x³/3)+A2-2) donc A=ik(u0+AL)

donc, par identification, A2=k[k(u0L+[iku0/(1-ikL)]L²/2)-i(u0+k²(u0x²/2+[iku0/(1-ikL)]x³/3)-2)]*1/(L-1)

Avec u0=1, on a alors:

A2=k[k(L+[ik/(1-ikL)]L²/2)-i(k²(x²/2+[ik/(1-ikL)]x³/3)-2)]*1/(L-1)

Ordre 2:

Φ2+k²∫∫Φ1+A3+B3=0

On injecte dans l'équation ci-dessus l'expression de Φ1. On a alors:

CAS n°2

Dans le deuxième cas, on s'intéresse une nouvelle fois à un domaine monodimensionnel plat de longueur L. On utilise la méthode standard utilisée pour le cas n°1, les calculs sont les mêmes et les résultats diffèrent en raison des conditions aux limites différentes du cas n°1 : la condition de flux aval est Φ_x=ik(2−Φ) et la réflexion totale en amont est Φ_x=0.