S'abonner à un flux RSS
 

Mécanique des fluides numérique / MFN (HU)

De Wikibardig

Logo eurydice.jpg

Traduction anglaise : Computational Fluid Dynamics / CFD

Dernière mise à jour : 19/01/2023

Ensemble de méthodes numériques utilisant la capacité de calcul d’un ordinateur et permettant de quantifier les écoulements de fluides en résolvant les équations de conservation : de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie ainsi que de tous autres phénomènes associés tels que le transport de solide et les réactions chimiques par exemple.

Dans le domaine de l'hydraulique, la MFN concerne en particulier la résolution des équations de Navier-Stokes pour une géométrie donnée.

Sommaire

Principes

Le principe de base consiste à transformer un phénomène représenté par des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles (EDP) sur un domaine physique continu par un système d'équations algébriques prenant des valeurs sur un domaine discret, puis à résoudre ces équations algébriques en utilisant un solveur plus ou moins générique mis en œuvre par un logiciel adéquat.

Le choix des équations, les discrétisations et les méthodes de résolutions vont dépendre du type d’écoulement à modéliser. La mise en œuvre de la méthode nécessite plusieurs étapes.

Étape 1 : Analyse physique de l’écoulement à étudier ; différents éléments doivent être pris en compte et il est en particulier nécessaire de répondre aux questions suivantes :

  • Quel est l'environnement de l’écoulement (milieu confiné ou non) ?
    • si le milieu est confiné, l’écoulement se produit dans un lieu entouré de parois (par exemple étude d’un déversoir ou d'un bassin) ; si l'une des parois est mobile, l’interaction fluide structure sera à prendre en compte dans la méthode de résolution des équations ainsi que dans le maillage ;
    • si le milieu n'est pas confiné, l’écoulement a lieu dans un environnement a priori infini (par exemple étude d’une hélice ou une hydrolienne) ; dans ce cas il est nécessaire de borner le domaine et de définir les conditions aux limites à appliquer au modèle ;
  • De quel fluide s'agit-il et quelles sont ses lois de comportement ?
    • le fluide est-il compressible ou incompressible (dans le cas d'un fluide compressible les variations de pression peuvent engendrer une variation de la masse volumique du fluide impactant le champ de pression ainsi que le champ de vitesse) ;
    • le fluide a-t-il un comportement newtonien (cas de l’eau et de l’air) ou non newtonien comme une coulée de boue.
  • L'écoulement est-il mono ou multiphasique ? dans le cas d'un écoulement multiphasique, il faudra en plus savoir s’il s’agit de fluides miscibles ou non ;
Nota : Dans le cas des écoulements à surface libre, on utilise généralement deux fluides considérés comme non miscibles (l'eau et l'air) et la détermination de la surface libre nécessite une procédure particulière de recherche de l’interface entre ces deux fluides ;
  • Est-il nécessaire de prendre en compte des phénomènes thermiques ? si oui, la prise en compte d’une source de chaleur introduit des équations supplémentaires ;
  • Quel type d'écoulement faut il prendre en compte ?
    • Écoulement laminaire ou turbulent : si l'écoulement est turbulent (ce qui sera presque toujours le cas en hydrologie et en assainissement) il faudra choisir un modèle de turbulence adapté ;
    • Écoulement stationnaire ou transitoire : il s’agit de savoir si l’évolution en transitoire des caractéristiques de l’écoulement est une donnée importante dans l’analyse des résultats ;
Nota : Dans certains cas, même la prise en compte de conditions aux limites permanentes peut produire des instabilités hydrodynamiques qui restent transitoires ;

Étape 2 : Choix d'une formulation et, par association, d'une méthode de mise en équations en lien avec l’analyse physique de l’écoulement ; trois méthodes, que l'on peut coupler, sont utilisables :

  • approximation des dérivées des variables par des opérateurs algébriques et méthode des différences finies ;
  • approximation des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques en utilisant la formulation variationnelle et méthode des éléments finis (formulation faible) ;
  • approximation directe des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques et méthode des volumes finis (formulation forte).

Étape 3 : Délimitation du domaine d'étude et maillage de ce domaine en lien avec la méthode précédemment choisie.

Étape 4 : Choix des conditions aux limites et construction des équations algébriques correspondantes sur les différents "bords" du domaine d'étude de façon que le nombre d'équations soit égal au nombre d'inconnues.

Étape 5 : Utilisation d’outils graphiques et numériques pour représenter les résultats.

Choix de la méthode

La plupart des logiciels utilisent la méthode des volumes finis pour discrétiser les opérateurs dans l'espace (Versteeg, et al., 1995). Cette méthode consiste en effet à écrire, sur chaque volume élémentaire, que la variation interne de la grandeur considérée (masse, énergie, quantité de mouvement) est égale à la somme des flux qui traversent sa frontière ; elle est donc conservative par construction. Si nécessaire (dans le cas des phénomènes évolutifs), la méthode des différences finies peut être utilisée en complément pour discrétiser les dérivées sur le temps.

Choix du maillage

Le maillage a pour but de subdiviser le domaine spatial de calcul en un grand nombre de petits éléments appelés cellules. Ces cellules sont des segments dans le cas 1D, des surfaces dans le cas 2D ou des volumes dans le cas 3D.

Dans le cas de la méthode des volumes finis les grandeurs sont calculées en un point particulier de chacune des cellules appelé centre. La méthode des volumes finis est très souple et les cellules peuvent prendre des formes quelconques ; de plus, leurs formes, comme leur taille, peuvent varier selon la position.

La taille des cellules constituant le maillage joue un rôle considérable sur la qualité des résultats de la modélisation. En effet, les valeurs calculées dans chaque cellule sont supposées constantes. Si leur volume est grand dans un domaine de l’écoulement où les gradients sont forts, il en résultera une mauvaise résolution des équations et des résultats erronés. Pour éviter ce risque, il est nécessaire de raffiner le maillage dans les zones de fort gradient.

Un problème particulier est posé par les écoulements en proche paroi (couche limite) où les gradients de vitesse et de pression sont très forts. Il est possible sur ces zones de raffiner beaucoup le maillage ou d'utiliser une solution alternative consistant à ajouter une équation supplémentaire représentant un modèle spécifique de couche limite.

Le maillage a pour but de subdiviser le domaine spatial de calcul en un grand nombre de petits éléments appelés cellules. Ces cellules sont des segments dans le cas 1D, des surfaces dans le cas 2D ou des volumes dans le cas 3D.

Le maillage doit de plus vérifier deux conditions :

  • il doit recouvrir totalement le domaine et en particulier les bords des cellules voisines des limites doivent correspondre aux bords du domaine ;
  • il doit être "admissible", c'est à dire que chaque cellule doit posséder un centre tel que chaque ligne joignant ce centre aux centres de chacune des cellules voisines doit obligatoirement être normal à la frontière entre ces cellules et passer par cette frontière (figure 1).


Figure 1 : Cellule admissible et cellule non admissible dans le cas de la méthode des volumes finis.


Dans le cas d'un maillage régulier, on parle de maillage structuré, par exemple constitué de triangles isocèles ou de carrés juxtaposés de même taille pour un problème à deux dimensions (figure 2), la seconde condition est facilement remplie.


Figure 2 : Exemple de maillage structuré avec des cellules carrées ; dans ce cas les flux reliant les centres de cellules contiguës sont obligatoirement normaux à la frontière entre ces cellules.

Cependant de type de maillage pose également des problèmes :

  • il permet difficilement de représenter des ouvrages dont la géométrie est compliquée (première condition) ;
  • la taille des cellules est obligatoirement la même partout ce qui, soit limite la précision du maillage, soit conduit à un très grand nombre de cellules.

On utilise donc souvent des maillages structurés dans les zones internes de l’écoulement et non structurés en proche paroi en utilisant des procédés de construction spécifiques, par exemple triangulation de Delaunay ou polygones de Voronoï (Scheid, 2017) (figure 3).


Figure 3 : Exemple de maillage non structuré admissible constitué de polygones convexes particuliers, dits de Voronoï ; Source : Scheid (2017).

Nota : Dans le cas d'un maillage rectangulaire (ou parallélépipédique) il est cependant possible d'utiliser des cellules de tailles différentes à condition que le rapport des dimensions entre deux cellules contiguës soit de 2 (maillage de type "Cutcell" beaucoup utilisé).

Dans la pratique les logiciels sont généralement dotés de fonctions spécifiques (mailleurs) permettant de construire le maillage de façon assistée. Cette étape reste cependant très délicate car elle nécessite de trouver un équilibre entre la précision attendue et le temps de calcul. Comme indiqué précédemment ce compromis impose généralement de densifier le maillage dans les zones où les grandeurs évoluent rapidement (ce qui suppose que l'on a une idée a priori de l'allure du phénomène) (figure 4).

La qualité du maillage est une étape importante à considérer afin de permettre une convergence des équations à résoudre. Plusieurs métriques sont classiquement utilisées pour qualifier un maillage : Aspect Ratio, Non-orthogonality, Volume Ratio, Skewness entre autres.


Figure 4 : Exemple de maillage parallélépipédique de type Cutcell à 3 dimensions ; l'objectif est ici de représenter les écoulements à surface libre dans une défluence ; Source : Monplot (2014).

Exemples d'utilisation en hydrologie et en hydraulique

Les systèmes d'assainissement sont très étendus et constitués d'un grand nombre d'ouvrages. Leur représentation complète par des outils de MFN nécessiterait des capacités de calcul qui sont encore, et sans doute pour longtemps, très supérieures à celle que l'on est capable de mobiliser, que ce soit en taille mémoire (nombre de mailles nécessaires) ou en temps calcul. En effet, comme déjà indiqué, pour les écoulements à surface libre, la difficulté principale est la détermination claire et précise de la ligne d'eau, c'est à dire de la séparation entre les fluides eau et air. Cette détermination nécessite une grande finesse du maillage.

Ces contraintes sont le plus souvent également vraies dans la plupart des systèmes hydrologiques, qu'ils soient naturels ou aménagés.

L'utilisation de ces outils est cependant en développement rapide pour représenter des ouvrages spécifiques ou des phénomènes localisés. Cette partie non exhaustive a pour but d'illustrer par des exemples différents domaines d'utilisation que l’on rencontre régulièrement en hydraulique.

Modélisation d’un écoulement turbulent à surface libre non miscible : Exemple d’un déversoir d’orage

Les déversoirs d’orage font sans doute partie des ouvrages présents dans les réseaux d'assainissement et pour lesquels les apports de la MFN sont les plus utiles. Ces ouvrages jouent en effet un rôle très importants dans le fonctionnement des réseaux en conditionnant les rejets urbains de temps de pluie et leur fonctionnement hydraulique, souvent compliqué, est très mal représenté par les méthodes classiques de simulation (en général équations de Barré de saint venant).

L'exemple suivant (figure 5) illustre la simulation d'un déversoir frontal fonctionnant en régime fluvial à l'amont et en régime torrentiel à l'aval de façon à mieux contrôler les débits conservés. La modélisation hydrodynamique permet de vérifier le bon fonctionnement de ce type d’ouvrage en particulier pour les sollicitations les plus fortes (période de retour de 10 ans par exemple).


Figure 5 : Évolution de la surface libre dans un déversoir frontal - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 6 ; Crédit José Vazquez.


Figure 6 : Conditions de réalisation de l'étude.

L'utilisation de modèles de MFN pour représenter ce type d'ouvrages permet ainsi d'évaluer les incertitudes associées aux représentations classiques et éventuellement de proposer des modélisations simplifiées alternatives.

Nota : Une utilisation particulière des outils de MFN pour les déversoirs d'orage (qui doivent être instrumentés dans le cadre de l'autosurveillance) est l'optimisation du positionnement des sondes. Les capteurs les plus performants sont en effet les capteurs de niveau. Le calcul du débit déversé connaissant la hauteur d'eau s'effectue ensuite en appliquant une loi de seuil. La difficulté réside dans le fait que la ligne d'eau le long du seuil peut être très variable et très perturbée. Si le capteur n'est pas installé au bon endroit sa mesure peut ne pas être représentative de la forme réelle de la ligne d'eau et les calculs de débit sont alors entachés d'une grande incertitude. L'utilisation d'outils de MFN permet de choisir de façon efficace la meilleure position des sondes et de paramétrer correctement la loi de seuil (Mignot et al., 2011).

pour en savoir plus :

Modélisation d’un maillage tournant en écoulement turbulent en monophasique dans un écoulement confiné : Exemple d’une hydrolienne mue par les forces de portance

L'hydrolienne étudiée est une turbine hydraulique mue par les forces de portance et installée dans une conduite en charge. Son objectif est de prélever une partie de l’énergie associée au mouvement fluide. La modélisation hydrodynamique permet de tracer dans le temps l’évolution de la puissance récupérée par l’hydrolienne (figure 7).


Figure 7 : Maillage et évolution du coefficient de couple au cours de la rotation de la turbine - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 8 ; Source : Maguin (2022).


Figure 8 : Conditions de réalisation de l'étude.

Modélisation d’un maillage tournant en écoulement turbulent à surface libre : Exemple d’une turbine de type vis d’Archimède

Les vis d’Archimède sont beaucoup utilisées comme organe de pompage dans les réseaux d'assainissement (relèvement des eaux résiduaires urbaines en station d'épuration, relèvement d'eaux pluviales, extraction des sables, compactage de déchets de dégrillage-tamisage, etc.) du fait de leurs nombreux avantages. Elles peuvent également être utilisées comme des turbines pour produire de l'énergie. Dans le cas étudié, l'énergie potentielle du fluide est convertie en énergie mécanique grâce à la rotation de la vis entraînée par le fluide. La modélisation de cet ouvrage par un modèle de MFN permet de calculer la variation temporelle du couple fourni par la vis d’Archimède (figure 9).


Figure 9 : Évolution de la surface libre dans une turbine de type Archimède - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 10 ; Source : Dellinger (2015).


Figure 10 : Conditions de réalisation de l'étude.

pour en savoir plus :

Modélisation d’un écoulement non newtonien à surface libre : exemple d’une coulée de boue sur un bassin versant

Une lave torrentielle est un écoulement visqueux fortement chargé en matière solide et surgissant en montagne lors d’orages violents. Ainsi, les coulées de boues se déclenchent en pleine pente, parfois sans existence préalable d’un chenal. Elles se produisent souvent à la suite d’un glissement de terrain, à partir du matériel glissé que des apports d’eau (pluie, fonte de neige) peuvent avoir détrempés jusqu’à que soit atteinte la limite de liquidité. Elles peuvent être extrêmement dangereuses et dévastatrice du fait de leur densité et des blocs transportées. Elles sont difficiles à représenter du fait du caractère non newtoniens du fluide étudié.

La modélisation par des outils de MFN permet cependant de comprendre leur écoulement et de connaitre par exemple la zone d’extension maximale de la coulée de boue (figure 11).


Figure 11 : Zones de dépôts pour une coulée de boue sur un bassin versant - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 12 ; Source : Schaer (2018).


Figure 12 : Conditions de réalisation de l'étude.

pour en savoir plus :

Modélisation d’un écoulement turbulent à surface libre miscible : exemple d’un puits de chute

Les puits de chute sont utilisés pour dissiper l'énergie cinétique lorsqu'il est nécessaire de raccorder des réseaux situés à des altitudes très différentes (entre 5 mètres et plusieurs dizaines de mètres de différence). La difficulté consiste à maîtriser la forme de l’écoulement ainsi que les conditions de sortie et l’entrainement de l’air. En effet, un puits de chute entraîne une quantité importante d’air et il est nécessaire soit de prévoir l’évacuation de ce débit d’air dans la conduite de sortie, soit de l’atténuer. Une étude en biphasique prenant en compte la compressibilité de l'air dans l'eau est donc nécessaire (figure 13).


Figure 13 : Puits de chute dans son environnement et étude de la position de la surface libre - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 14 ; Crédit José Vazquez.


Figure 14 : Conditions de réalisation de l'étude.

pour en savoir plus :

Modélisation d’un vortex à surface libre : exemple d’une station de pompage

Un vortex est un phénomène hydrodynamique représenté par un tourbillon et creusant la surface libre. L’apparition d’un vortex dans un ouvrage peut être une contrainte d’exploitation importante. Par exemple, dans le cas d’une station de pompage, l’entrainement d’air causé par un vortex peut générer une perte de rendement et de débit dans une installation. L'étude du phénomène permet de trouver des solutions pour diminuer son effet (figure 15).

Figure 15 : Représentation du maillage et du développement des vortex dans une conduite d’aspiration - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 16 ; Crédit Gabriel Guibu Pereira.


Figure 16 : Conditions de réalisation de l'étude.

pour en savoir plus :

Modélisation du profil de vitesse en régime turbulent dans une conduite à surface libre : exemple d’une conduite en assainissement

La meilleure façon de mettre en place des dispositifs capables de mesurer correctement les débits dans les réseaux d'assainissement est une question de plus de plus importante. Si la mesure de la hauteur d'eau est bien maîtrisée, il n'en est pas de même de l'évaluation de la vitesse moyenne d'un écoulement. En effet les capteurs actuellement utilisés (capteur doppler, radars de surface, etc.) ne mesure qu'une partie d'un champ de vitesse qui peut être très variable dans la section mouillée. La modélisation du champ de vitesse complet dans la section de mesure par un modèle de MFN permet de beaucoup mieux calibrer ces capteurs (figure 17).


Figure 17 : Visualisation du maillage et du champ de vitesse - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 18 ; Crédit José Vazquez.


Figure 18 : Conditions de réalisation de l'étude.

Ce type d'étude est également très intéressant lorsque les canaux ont des formes compliquées (Bellahcen, 2016).

Modélisation du transport solide dans un écoulement turbulent : exemple des pièges à charriage

Les pièges à charriage permettent de lutter efficacement contre l’ensablement des réseaux d’assainissement. Les performances de ces dispositif en termes d’abattement sont cependant difficiles à évaluer car elles dépendent beaucoup de la variabilité des phénomènes de dépôt-reprise associés à la variabilité des débits, en particulier sur les réseaux pluviaux ou unitaires. Les outils de la MFN permettent d'analyser ces performances pour différentes configurations géométriques, sollicitations hydrauliques et sédimentaires (Isenmann, 2016 et figure 19).


Figure 19 : Piège à charriage dans son environnement et détermination des zones de dépôt dans différentes configurations - voir les conditions de réalisation de l'étude dans le tableau de la figure 20 ; Crédit Angel Manjarres.


Figure 20 : Conditions de réalisation de l'étude.

De façon générale la maîtrise des phénomènes de dépôt-reprise dans les bassins de retenue est de plus en plus importante, que ce soit pour favoriser le piégeage des particules polluantes ou au contraire pour éviter leur dépôt et faciliter le nettoyage des ouvrages. L'utilisation des outils de MFN constitue une aide précieuse, en complément ou à la place des modèles réduits, pour bien définir la géométrie d'ouvrage la mieux adaptée en fonction des attentes (Dufresne, 2008). Elle présente l'avantage, par rapport aux modèles réduits, de permettre de tester rapidement des géométries différentes (forme du bassin, position des entrées et des sorties, utilisation éventuelle de déflecteur, etc.) (Yan et al, 2020)

Bibliographie :

  • Bellahcen, S. (2016) : Étude numérique et expérimentale du champ de vitesse en canaux composés ; Thèse de doctorat Mécanique des fluides Strasbourg ; disponible sur http://www.theses.fr/2016STRAD043
  • Dellinger, G. (2015) : Étude expérimentale et optimisation des performances hydrauliques des vis d'Archimède utilisées dans les micro centrales hydroélectriques ; Thèse de doctorat Génie civil Strasbourg, disponible sur http://www.theses.fr/2015STRAD046
  • Dufresne, M.F.D. (2008) : La modélisation 3D du transport solide dans les bassins en assainissement : Du pilote expérimental à l’ouvrage réel ; Thèse de doctorat Mécanique Strasbourg; disponible sur http://www.theses.fr/2008STR13093
  • Isenmann, G. (2016) : Approche Euler-Lagrange pour la modélisation du transport solide dans les ouvrages de décantation ; Thèse de doctorat Mécanique des fluides Strasbourg ; disponible sur http://www.theses.fr/2016STRAD013
  • Maguin, N. (2022) : Conception et optimisation d'une turbine à axe vertical mue par les forces de portance dans une conduite en charge, Thèse de doctorat Mécanique, génie mécanique, génie civil Strasbourg ; disponible sur http://www.theses.fr/2022STRAD005
  • Mignot, E., Bonakdari, H., Knothe, P., Lipeme Kouyi, G., Bessette, A., Rivière, N., Bertrand-Krajewski, J.L. (2011) : Experiments and 3D simulations of flow structures in junctions and of their influence on location of flowmeters ; 12th International Conference on Urban Drainage, Porto Alegre/Brazil, 11-16 September 2011 ; 9p. ; disponible sur https://www.researchgate.net
  • Monplot, A. (2014) : Modélisation tridimensionnelle des écoulements en réseau d’assainissement ; Évaluation des modèles RANS à travers l’étude des écoulements au droit d’ouvrages spéciaux ; thèse de doctorat INSA de Lyon ; 206p. ; disponible sur https://www.theses.fr/2014ISAL0125.pdf.
  • Schaer, N. (2018) : Modélisation des écoulements à surface libre de fluides non-newtoniens ; Thèse de doctorat Mécanique des fluides Strasbourg ; disponible sur http://www.theses.fr/2018STRAD033
  • Scheid, J.-F. (2017) : Volumes finis ; Méthodes numériques avancées pour la résolution des EDP ; cours de Master 2 ; IMOI, Université de Lorraine ; 67p. ; disponible sur http://scheid.perso.math.cnrs.fr/Enseignement/polyVF2017_18.pdf.
  • Versteeg, H. K., Malalasekera, W. (1995). An introduction to computational fluid dynamics - the finite volume method.. Addison-Wesley-Longman. ISBN: 978-0-582-21884-0
  • Yan, H., Vosswinkel, N., Ebbert, S., Lipeme Kouyi, G., Mohn, R., (2020) : Numerical investigation of particles’ transport, deposition and resuspension under unsteady conditions in constructed stormwater ponds ; Environmental Sciences Europe, 2020, 32 (76) ; 17p. ; disponible sur https://enveurope.springeropen.com

Pour en savoir plus :

Liens vers des vidéos illustratives :

Outils personnels